Questão 6. (2,0pts) Encontre a solução do seguinte sistema { x1 − 2x2 + x3 = 1 2x1 − 5x2 + x3 = −2 3x1 − 7x2 + 2x3 = −1 }

Para resolver o sistema de equações: 1. \( x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \) (Equação 1) 2. \( 2x_1 - 5x_2 + x_3 = -2 \) (Equação 2) 3. \( 3x_1 - 7x_2 + 2x_3 = -1 \) (Equação 3) Podemos usar o método da eliminação ou a regra de Cramer. Aqui, vamos usar o método da eliminação: Primeiro, vamos eliminar \( x_3 \) das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos a equação 1 da equação 2 e multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 3. Subtraindo a equação 1 da equação 2: \[ (2x_1 - 5x_2 + x_3) - (x_1 - 2x_2 + x_3) = -2 - 1 \] \[ x_1 - 3x_2 = -3 \quad \text{(Equação 4)} \] Agora, multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 3: \[ (3x_1 - 7x_2 + 2x_3) - 2(x_1 - 2x_2 + x_3) = -1 - 2 \] \[ 3x_1 - 7x_2 + 2x_3 - 2x_1 + 4x_2 - 2x_3 = -3 \] \[ x_1 - 3x_2 = -3 \quad \text{(Equação 5, que é a mesma que a Equação 4)} \] Agora, temos duas equações: 1. \( x_1 - 3x_2 = -3 \) (Equação 4) 2. \( x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \) (Equação 1) Substituindo \( x_1 \) da Equação 4 na Equação 1: \[ (-3 + 3x_2) - 2x_2 + x_3 = 1 \] \[ -3 + x_2 + x_3 = 1 \] \[ x_2 + x_3 = 4 \quad \text{(Equação 6)} \] Agora, temos: 1. \( x_1 - 3x_2 = -3 \) (Equação 4) 2. \( x_2 + x_3 = 4 \) (Equação 6) Podemos expressar \( x_3 \) em termos de \( x_2 \): \[ x_3 = 4 - x_2 \] Substituindo \( x_3 \) na Equação 1: \[ x_1 - 2x_2 + (4 - x_2) = 1 \] \[ x_1 - 3x_2 + 4 = 1 \] \[ x_1 - 3x_2 = -3 \quad \text{(que é a Equação 4)} \] Assim, temos um sistema consistente. Agora, podemos escolher um valor para \( x_2 \) e encontrar os outros valores. Por exemplo, se \( x_2 = 0 \): \[ x_1 = -3 \quad \text{e} \quad x_3 = 4 \] Portanto, uma solução do sistema é: \[ (x_1, x_2, x_3) = (-3, 0, 4) \] Você pode escolher outros valores para \( x_2 \) e encontrar outras soluções.