2. (2pt) Encontre a solução geral da equação diferencial y′′ − 4y′ + 4y = −e2x/x. y = C1e2x + C2xe2x − xe2x ln(x)

Para resolver a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = -\frac{e^{2x}}{x} \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a solução da equação homogênea: A equação homogênea associada é \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). A equação característica é \( r^2 - 4r + 4 = 0 \), que tem uma raiz dupla \( r = 2 \). Portanto, a solução geral da homogênea é: \[ y_h = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} \] 2. Encontrar a solução particular: Para a parte não homogênea \( -\frac{e^{2x}}{x} \), podemos tentar uma solução particular da forma: \[ y_p = -x e^{2x} \ln(x) \] (ou uma forma similar, dependendo do método que você escolher). 3. Solução geral: A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: \[ y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} - x e^{2x} \ln(x) \] Portanto, a solução geral da equação diferencial dada é: \[ y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} - x e^{2x} \ln(x) \] Se precisar de mais detalhes sobre algum passo, é só avisar!