Para determinar a direção e a taxa máxima em que a função \( f(x,y) = 4x^2 - 2y^3 + 2xy \) cresce mais rapidamente no ponto \( (2, -3) \), precisamos calcular o gradiente da função, que nos dará a direção de crescimento mais rápido. 1. Calcular as derivadas parciais: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 8x + 2y \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -6y^2 + 2x \) 2. Avaliar as derivadas no ponto \( (2, -3) \): - \( f_x(2, -3) = 8(2) + 2(-3) = 16 - 6 = 10 \) - \( f_y(2, -3) = -6(-3)^2 + 2(2) = -6(9) + 4 = -54 + 4 = -50 \) 3. Gradiente: - O gradiente \( \nabla f(2, -3) = (10, -50) \) 4. Taxa máxima de crescimento: - A taxa máxima de crescimento é a magnitude do gradiente: \[ \|\nabla f(2, -3)\| = \sqrt{10^2 + (-50)^2} = \sqrt{100 + 2500} = \sqrt{2600} = 10\sqrt{26} \] Agora, analisando as alternativas: - a) (10, –50), 10√26 - b) (10, 58), 10√26 - c) (22, –50), 10√26 - d) (10, 58), 10√6 - e) (22, –50), 10√6 A alternativa correta que apresenta a direção e a taxa máxima de crescimento é: a) (10, –50), 10√26.