Qual é o valor de \( \int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \)? a) 6 b) 8 c) 5 d) 7

Para calcular o valor da integral \( \int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada da função \( 2x^3 - 3x^2 + 4 \): - A antiderivada de \( 2x^3 \) é \( \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 \). - A antiderivada de \( -3x^2 \) é \( -\frac{3}{3}x^3 = -x^3 \). - A antiderivada de \( 4 \) é \( 4x \). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x \] 2. Calcular \( F(2) \) e \( F(1) \): - \( F(2) = \frac{1}{2}(2^4) - (2^3) + 4(2) = \frac{1}{2}(16) - 8 + 8 = 8 - 8 + 8 = 8 \) - \( F(1) = \frac{1}{2}(1^4) - (1^3) + 4(1) = \frac{1}{2}(1) - 1 + 4 = \frac{1}{2} - 1 + 4 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} = 3.5 \) 3. Subtrair \( F(1) \) de \( F(2) \): \[ \int_1^2 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = F(2) - F(1) = 8 - 3.5 = 4.5 \] Parece que houve um erro na análise das opções, pois o resultado não está entre as alternativas. Vamos revisar: O valor correto da integral é \( 4.5 \), que não está listado nas opções. Portanto, nenhuma das alternativas (a) 6, (b) 8, (c) 5, (d) 7 é correta. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!