Determine o limite \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin(x)}{x^4}. A) -\frac{1}{6} B) 0 C) 1 D) Não existe

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin(x)}{x^4}\), podemos usar a série de Taylor para \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \] Substituindo isso na expressão, temos: \[ x^2 - \sin(x) = x^2 - \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) = x^2 - x + \frac{x^3}{6} - O(x^5) \] Assim, podemos simplificar: \[ x^2 - \sin(x) = -x + x^2 + \frac{x^3}{6} - O(x^5) \] Agora, substituindo isso no limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-x + x^2 + \frac{x^3}{6} - O(x^5)}{x^4} \] Dividindo cada termo por \(x^4\): \[ = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{6x} - O(1)\right) \] À medida que \(x\) se aproxima de 0, os termos \(-\frac{1}{x^3}\) e \(\frac{1}{x^2}\) tendem a infinito, mas o termo dominante é \(-\frac{1}{x^3}\), que tende a \(-\infty\). Portanto, o limite não existe. A resposta correta é: D) Não existe.