Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^2 + 2) \, dx\)? A) \frac{1}{3} + 2 B) \frac{5}{3} C) 2 D) \frac{1}{3}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^2 + 2) \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral: \[ \int (x^2 + 2) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 2 \, dx \] A integral de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\) e a integral de \(2\) é \(2x\). Portanto: \[ \int (x^2 + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C \] 2. Avaliar de 0 a 1: Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0 \right) \] Isso resulta em: \[ \left( \frac{1}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} \] 3. Analisando as alternativas: Agora, vamos verificar as alternativas: A) \(\frac{1}{3} + 2\) = \(\frac{7}{3}\) (correta) B) \(\frac{5}{3}\) (incorreta) C) \(2\) (incorreta) D) \(\frac{1}{3}\) (incorreta) Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{1}{3} + 2\).