Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^2 + x) \, dx\)? A) 0 B) \frac{1}{3} C) \frac{1}{2} D) \frac{5}{6}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^2 + x) \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral: \[ \int (x^2 + x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int x \, dx \] A integral de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\) e a integral de \(x\) é \(\frac{x^2}{2}\). Portanto: \[ \int (x^2 + x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \] 2. Avaliar de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^2 + x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \] Agora, substituímos os limites: \[ = \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) - 0 \] 3. Somar as frações: Para somar \(\frac{1}{3}\) e \(\frac{1}{2}\), precisamos de um denominador comum, que é 6: \[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad \text{e} \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \] Portanto: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \] Assim, o valor da integral \(\int_0^1 (x^2 + x) \, dx\) é \(\frac{5}{6}\). A alternativa correta é: D) \(\frac{5}{6}\).