fazendo a matematica acontecer EME

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<p>\(\int (6x^2 - 4x) \, dx = 2x^3 - 2x^2 + C\). Avaliando de 0 a 1:</p><p>\((2(1^3) - 2(1^2)) - (0) = 2 - 2 = 0\).</p><p>51. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 5\)?**</p><p>- A) \(3x^2 - 6x + 4\)</p><p>- B) \(3x^2 - 6x\)</p><p>- C) \(3x^2 + 4\)</p><p>- D) \(2x^2 - 3x + 4\)</p><p>**Resposta: A) \(3x^2 - 6x + 4\)**</p><p>**Explicação:** A derivada de cada termo é calculada separadamente.</p><p>52. **Qual é o valor de \(\int_1^3 (2x^2 - 3) \, dx\)?**</p><p>- A) 2</p><p>- B) 3</p><p>- C) 4</p><p>- D) 5</p><p>**Resposta: A) 2**</p><p>**Explicação:** A integral resulta em:</p><p>\(\int (2x^2 - 3) \, dx = \frac{2x^3}{3} - 3x + C\). Avaliando de 1 a 3:</p><p>\(\left(\frac{2(3^3)}{3} - 3(3)\right) - \left(\frac{2(1^3)}{3} - 3(1)\right)\).</p><p>53. **Qual é o valor da derivada de \(f(x) = \sin(3x)\)?**</p><p>- A) \(3\cos(3x)\)</p><p>- B) \(-3\sin(3x)\)</p><p>- C) \(3\sin(3x)\)</p><p>- D) \(-3\cos(3x)\)</p><p>**Resposta: A) \(3\cos(3x)\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia:</p><p>\(f'(x) = 3\cos(3x)\).</p><p>54. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 2}{x^3 - 3x}\)?**</p><p>- A) 4</p><p>- B) 2</p><p>- C) 1</p><p>- D) 0</p><p>**Resposta: A) 4**</p><p>**Explicação:** Dividimos todos os termos por \(x^3\):</p><p>\(\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{2}{x^3}}{1 - \frac{3}{x^2}} = 4\).</p><p>55. **Qual é a solução de \(\frac{dy}{dx} = 3y + 2\)?**</p><p>- A) \(y = Ce^{3x} - \frac{2}{3}\)</p><p>- B) \(y = Ce^{-3x} - \frac{2}{3}\)</p><p>- C) \(y = 3e^{x} + C\)</p><p>- D) \(y = -\frac{2}{3}\)</p><p>**Resposta: A) \(y = Ce^{3x} - \frac{2}{3}\)**</p><p>**Explicação:** A equação é separável, isolando \(y\) e integrando obtemos a solução.</p><p>56. **Qual é o valor de \(\int \frac{1}{x} \, dx\)?**</p><p>- A) \(\ln|x| + C\)</p><p>- B) \(\ln(x) + C\)</p><p>- C) \(\frac{1}{x} + C\)</p><p>- D) \(x + C\)</p><p>**Resposta: A) \(\ln|x| + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x| + C\).</p><p>57. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\)?**</p><p>- A) 0</p><p>- B) \(-\frac{1}{2}\)</p><p>- C) 1</p><p>- D) \(-1\)</p><p>**Resposta: B) \(-\frac{1}{2}\)**</p><p>**Explicação:** Usando a série de Taylor para \(\cos(x)\), temos que a expansão leva a:</p><p>\(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2} = -\frac{1}{2}\).</p><p>58. **Qual é a soma dos primeiros \(n\) termos da série geométrica onde \(a = 5\) e \(r =</p><p>\frac{1}{3}\)?**</p><p>- A) \(\frac{5(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n)}{1 - \frac{1}{3}}\)</p><p>- B) \(\frac{5(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n)}{1 - \frac{1}{3}}\)</p><p>- C) \(\frac{5(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n)}{1 + \frac{1}{3}}\)</p><p>- D) \(5(1 - \frac{1}{3^n})\)</p><p>**Resposta: A) \(\frac{5(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n)}{1 - \frac{1}{3}}\)**</p><p>**Explicação:** A soma é dada como \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\).</p><p>59. **Qual é o valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx\)?**</p><p>- A) 0</p><p>- B) 1</p><p>- C) 2</p><p>- D) \(\frac{\pi}{2}\)</p><p>**Resposta: B) 1**</p><p>**Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Avaliando de 0 a \(\frac{\pi}{2}\):</p><p>\(-\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0)) = 0 + 1 = 1\).</p><p>60. **Qual é a solução da equação \(x^2 - 5x + 6 = 0\)?**</p><p>- A) \(x = 2, 3\)</p><p>- B) \(x = -2, -3\)</p><p>- C) \(x = 1, 6\)</p><p>- D) \(x = -1, -6\)</p><p>**Resposta: A) \(x = 2, 3\)**</p><p>**Explicação:** Fatorando, temos \((x - 2)(x - 3) = 0\), logo \(x = 2\) e \(x = 3\).</p><p>61. **Qual é o valor de \(\int_1^2 (2x + 3) \, dx\)?**</p><p>- A) 4</p><p>- B) 5</p><p>- C) 6</p><p>- D) 7</p><p>**Resposta: C) 7**</p><p>**Explicação:** A integral é:</p><p>\(\int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C\). Avaliando de 1 a 2:</p><p>\((2^2 + 3 \cdot 2) - (1^2 + 3 \cdot 1) = (4 + 6) - (1 + 3) = 10 - 4 = 6\).</p><p>62. **Qual é a integral de \(\int (4x^3 - 2x^2 + 7) \, dx\)?**</p><p>- A) \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 7x + C\)</p><p>- B) \(x^4 - \frac{2}{3}x^2 + 7x + C\)</p><p>- C) \(4x^4 - 2x^3 + 7x + C\)</p><p>- D) \(x^4 - 2x^2 + 7 + C\)</p><p>**Resposta: A) \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 7x + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral resulta em:</p><p>\(\frac{4x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + 7x + C = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 7x + C\).</p><p>63. **Qual é a solução da equação \(x^2 - 4 = 0\)?**</p><p>- A) \(x = 2, -2\)</p><p>- B) \(x = 0\)</p><p>- C) \(x = 4\)</p><p>- D) \(x = -4\)</p><p>**Resposta: A) \(x = 2, -2\)**</p><p>**Explicação:** A equação é fatorada como \((x - 2)(x + 2) = 0\).</p><p>64. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^2 + x) \, dx\)?**</p><p>- A) 0</p><p>- B) \(\frac{1}{3}\)</p><p>- C) \(\frac{1}{2}\)</p><p>- D) \(\frac{5}{6}\)</p><p>**Resposta: B) \(\frac{1}{2}\)**</p><p>**Explicação:** A integral é:</p>