Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(3x + 1)\). A) \(\frac{3}{3x + 1}\) B) \(\frac{1}{3x + 1}\) C) \(\frac{3x}{3x + 1}\) D) \(\frac{1}{x + 1}\)

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Para calcular a derivada da função \(f(x) = \ln(3x + 1)\), utilizamos a regra da cadeia. A derivada da função logarítmica \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot u'\), onde \(u = 3x + 1\). 1. Primeiro, encontramos \(u' = \frac{d}{dx}(3x + 1) = 3\). 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 = \frac{3}{3x + 1} \] Analisando as alternativas: A) \(\frac{3}{3x + 1}\) - Correta. B) \(\frac{1}{3x + 1}\) - Incorreta. C) \(\frac{3x}{3x + 1}\) - Incorreta. D) \(\frac{1}{x + 1}\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{3}{3x + 1}\).

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Encontre o valor de \(e^x\) usando a série de Taylor até o termo \(x^4\).

A) \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\)
B) \(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}\)
C) \(1 + x + x^2 + x^3 + x^4\)
D) \(x + 1\)

Calcule a integral indefinida \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\).

A) \(-\frac{1}{x} + C\)
B) \(\frac{1}{x} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(\frac{1}{2}x^2 + C\)

Resolva a equação \(3x^2 - 12x + 9 = 0\) usando a fórmula de Bhaskara.

A) \(x = 1\) ou \(x = 3\)
B) \(x = 2\)
C) \(x = 3\)
D) \(x = 1\)

Determine o valor da função \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4\) no ponto \(x=2\).

A) -4
B) 0
C) 4
D) 6

Calcule a integral de \( \int_0^1 x^2 \, dx \).
a) \( \frac{1}{3} \)
b) \( \frac{1}{2} \)
c) \( \frac{2}{3} \)
d) \( \frac{1}{4} \)
a) \( \frac{1}{3} \)

Determine o valor da derivada \(f'(x)\) para \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 2\).

A) \(4x^3 - 12x^2 + 12x\)
B) \(4x^4 - 12x^3 + 6x\)
C) \(12x^2 - 12x + 6\)
D) \(x^3 - 4x^2 + 6\)

Calcule a integral definida \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx\).

A) \(\frac{\pi}{4}\)
B) \(\frac{\pi}{2}\)
C) \(\frac{\pi}{8}\)
D) \(\frac{\pi}{6}\)

Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) para \(p=2\).

A) Diverge
B) Converge
C) Converge para 1
D) Diverge para infinito

Cálculo

Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(3x + 1)\). A) \(\frac{3}{3x + 1}\) B) \(\frac{1}{3x + 1}\) C) \(\frac{3x}{3x + 1}\) D) \(\frac{1}{x + 1}\)

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Calcule a integral indefinida \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\).

A) \(-\frac{1}{x} + C\)
B) \(\frac{1}{x} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(\frac{1}{2}x^2 + C\)

Resolva a equação \(3x^2 - 12x + 9 = 0\) usando a fórmula de Bhaskara.

A) \(x = 1\) ou \(x = 3\)
B) \(x = 2\)
C) \(x = 3\)
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Determine o valor da função \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4\) no ponto \(x=2\).

A) -4
B) 0
C) 4
D) 6

Calcule a integral de \( \int_0^1 x^2 \, dx \).
a) \( \frac{1}{3} \)
b) \( \frac{1}{2} \)
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A) \(4x^3 - 12x^2 + 12x\)
B) \(4x^4 - 12x^3 + 6x\)
C) \(12x^2 - 12x + 6\)
D) \(x^3 - 4x^2 + 6\)

Calcule a integral definida \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx\).

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Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) para \(p=2\).

A) Diverge
B) Converge
C) Converge para 1
D) Diverge para infinito

Problema 68: Determine o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\).

A) 0
B) 1
C) \(\infty\)
D) Não existe

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Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) para \(p=2\).A) DivergeB) ConvergeC) Converge para 1D) Diverge para infinito

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C) \(\ln(x) + C\)
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a) \( \frac{1}{3} \)
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A) Diverge
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