Para resolver a integral \( \int e^{-x} \sin(x) \, dx \), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração de funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas. A integral \( \int e^{-x} \sin(x) \, dx \) resulta em uma expressão que pode ser encontrada através de um processo que envolve a aplicação de integração por partes duas vezes. O resultado final é: \[ \int e^{-x} \sin(x) \, dx = -e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( -e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) + C \) - Esta é a resposta correta. B) \( e^{-x}(\sin(x) - \cos(x)) + C \) - Incorreta. C) \( e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) + C \) - Incorreta. D) \( -e^{-x}\sin(x) + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( -e^{-x}(\sin(x) + \cos(x)) + C \).