Para determinar a equação da reta tangente à função \( f(x) = \sin(x) \) no ponto \( x = \frac{\pi}{4} \), precisamos seguir alguns passos: 1. Calcular \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) \): \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \] 2. Calcular a derivada \( f'(x) \): \[ f'(x) = \cos(x) \] 3. Calcular \( f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \): \[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \] 4. Usar a fórmula da reta tangente: A equação da reta tangente é dada por: \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \] Substituindo \( a = \frac{\pi}{4} \): \[ y - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \] 5. Rearranjando a equação: \[ y = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( y = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \) - Correta B) \( y = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \) - Incorreta C) \( y = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - \frac{\pi}{4}) + 0 \) - Incorreta D) \( y = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4}) + 0 \) - Incorreta Portanto, a alternativa correta é: A) \( y = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \).