Para determinar o volume do sólido \( S \) limitado superiormente pela superfície \( z = xy \) e cuja projeção no plano \( xy \) é o triângulo com vértices em \( (1,1) \), \( (4,1) \) e \( (1,2) \), precisamos seguir alguns passos. 1. Identificar a região de integração: O triângulo formado pelos vértices dados pode ser descrito por suas equações de limite. Os vértices são \( (1,1) \), \( (4,1) \) e \( (1,2) \). 2. Encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo: - A reta entre \( (1,1) \) e \( (4,1) \) é horizontal: \( y = 1 \) para \( 1 \leq x \leq 4 \). - A reta entre \( (1,1) \) e \( (1,2) \) é vertical: \( x = 1 \) para \( 1 \leq y \leq 2 \). - A reta entre \( (4,1) \) e \( (1,2) \) pode ser encontrada pela fórmula da equação da reta. A inclinação \( m \) é \( \frac{2-1}{1-4} = -\frac{1}{3} \), então a equação é \( y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 4) \), que simplifica para \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \). 3. Configurar a integral para o volume: O volume \( V \) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \iint_R (xy) \, dA \] onde \( R \) é a região triangular no plano \( xy \). 4. Definir os limites de integração: Para \( x \) variando de \( 1 \) a \( 4 \), e para cada \( x \), \( y \) variando de \( 1 \) até a reta \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \). 5. Calcular a integral: \[ V = \int_{1}^{4} \int_{1}^{-\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}} xy \, dy \, dx \] Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a \( y \): \[ \int xy \, dy = \frac{1}{2}xy^2 \bigg|_{1}^{-\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}} \] Depois, substituímos os limites e resolvemos a integral externa em relação a \( x \). 6. Resultado final: Após calcular as integrais, você encontrará o volume do sólido \( S \). Se precisar de mais detalhes sobre os cálculos, é só avisar!