Expansão em frações parciais

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Frações Parciais 
 
Na maioria dos casos, tem – se como resultado durante a Transformada de Laplace: 
 
Onde e são expressões e são definidas por: 
 
E que os coeficientes e . As potências dos termos do numerador 
normalmente são menores que as potências do denominador . Define – se as raízes do 
numerador como zeros e as raízes do denominador como pólos da função . 
Casos de Resolução da Expansão 
 
A expansão em frações parciais pode ser resolvida em 4 casos: 
 
1. Todos os Pólos são Distintos 
 
Fatora – se a expressão em: 
 
A partir da expressão inicial, reescreve como: 
 
Para resolver o termo , multiplica – se cada lado da expressão de por 
e iguala – se a : 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Pela tabela de Transformadas de Laplace: 
 
Logo: 
 
 
2. Pólos Repetidos 
 
Neste caso, a expressão é escrita como: 
 
A expressão fica expandida como: 
 
Para a resolução efetua – se dois procedimentos: 
2.1. Para os termos , resolve – se conforme o caso anterior: 
 
2.2. Para os termos até resolve – se desta forma: 
 
Multiplica – se por a expressão : 
 
Iguala – se na equação anterior e com isso, a equação anterior se resume a: 
 
2.3. Para os outros termos, de até , que são pólos repetidos de , aplica – se 
derivadas sucessivas em relação a , e multiplica –se cada termo por e após isso 
iguala – se cada termo a . Assim: 
 
 
Este mesmo procedimento serve para quando tem – se mais de um pólo repetido precisando 
apenas repetir a quantidade de vezes necessária para cada situação. 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
 
Então: 
 
Aplicando a Tabela de Transformadas de Laplace: 
 
 
Exemplo 3: