Questão 3) Determine uma equação cartesiana do plano π que contém o ponto P = (2, 3, 1) e é paralelo aos vetores u = (1, 0,−1) e v = (0, 1, 2).

Para determinar a equação cartesiana do plano \(\pi\) que contém o ponto \(P = (2, 3, 1)\) e é paralelo aos vetores \(u = (1, 0, -1)\) e \(v = (0, 1, 2)\), siga os passos abaixo: 1. Encontrar o vetor normal do plano: O vetor normal \(n\) pode ser encontrado utilizando o produto vetorial dos vetores \(u\) e \(v\): \[ n = u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ n = \mathbf{i}(0 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \] \[ n = \mathbf{i}(0 + 1) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(1) \] \[ n = (1, -2, 1) \] 2. Usar a forma geral da equação do plano: A equação do plano pode ser escrita na forma: \[ n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0 \] onde \((x_0, y_0, z_0)\) é o ponto \(P\) e \((n_1, n_2, n_3)\) são as componentes do vetor normal \(n\). 3. Substituir os valores: \[ 1(x - 2) - 2(y - 3) + 1(z - 1) = 0 \] Simplificando: \[ x - 2 - 2y + 6 + z - 1 = 0 \] \[ x - 2y + z + 3 = 0 \] 4. Equação final: A equação cartesiana do plano \(\pi\) é: \[ x - 2y + z + 3 = 0 \] Essa é a equação do plano que contém o ponto \(P\) e é paralelo aos vetores \(u\) e \(v\).