Para determinar o intervalo no qual a equação diferencial \( xy'' + 3x^2y' + 4y = \ln(x - 1) \) tem solução única para um problema de valor inicial, precisamos considerar o domínio da função do lado direito, que é \( \ln(x - 1) \). A função \( \ln(x - 1) \) está definida apenas para \( x > 1 \). Portanto, para que a equação diferencial tenha uma solução única, precisamos que \( x \) esteja nesse intervalo. Analisando as alternativas: A) \( x > 1 \) - Correto, pois é o intervalo onde \( \ln(x - 1) \) está definido. B) \( x \leq 0 \) - Incorreto, pois não inclui o intervalo necessário. C) \( x \geq 1 \) - Incorreto, pois inclui \( x = 1 \), onde \( \ln(0) \) não está definido. D) \( -\infty \) - Incorreto, pois não é um intervalo válido para a função. Portanto, a alternativa correta é: A) x > 1.