Para mostrar que existe \( a > 0 \) tal que \( f(x) = \log_a x \) para toda \( x \in \mathbb{R}^+ \), siga os seguintes passos: 1. Propriedade da função: Dado que \( f(xy) = f(x) + f(y) \), podemos considerar \( y = 1 \). Assim, temos: \[ f(x \cdot 1) = f(x) + f(1) \implies f(x) = f(x) + f(1) \] Isso implica que \( f(1) = 0 \). 2. Crescimento da função: Como \( f \) é uma função crescente, se \( x < y \), então \( f(x) < f(y) \). 3. Definição de \( f \): Para \( x = e^t \) (onde \( t \in \mathbb{R} \)), temos: \[ f(e^t) = f(e^{t_1}) + f(e^{t_2}) \implies f(e^{t_1 + t_2}) = f(e^{t_1}) + f(e^{t_2}) \] Isso sugere que \( f(e^t) \) se comporta como uma função logarítmica. 4. Existência de \( a \): Defina \( a = e^{f(1)} \). Então, podemos escrever: \[ f(e^t) = k \cdot t \quad \text{(para algum constante \( k \))} \] Assim, \( f(x) = k \cdot \log_e x \). 5. Mudança de base: Usando a mudança de base do logaritmo, temos: \[ f(x) = \log_a x \quad \text{onde \( a = e^{k} \)}. \] Portanto, existe \( a > 0 \) tal que \( f(x) = \log_a x \) para todo \( x \in \mathbb{R}^+ \).