Ao calcular a integral integrate (ax)/(x ^ 2 - bx) dx

Para calcular a integral \(\int \frac{ax}{x^2 - bx} \, dx\), podemos usar a técnica de frações parciais. Primeiro, vamos fatorar o denominador: \[ x^2 - bx = x(x - b) \] Agora, podemos reescrever a fração: \[ \frac{ax}{x^2 - bx} = \frac{ax}{x(x - b)} \] Em seguida, podemos expressar isso como uma soma de frações parciais: \[ \frac{ax}{x(x - b)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - b} \] Multiplicando ambos os lados por \(x(x - b)\) e igualando os numeradores, obtemos: \[ ax = A(x - b) + Bx \] Agora, precisamos encontrar os valores de \(A\) e \(B\). Expandindo e agrupando os termos, temos: \[ ax = Ax - Ab + Bx \] Isso nos dá: \[ ax = (A + B)x - Ab \] Igualando os coeficientes, obtemos: 1. \(A + B = a\) 2. \(-Ab = 0\) Da segunda equação, temos \(A = 0\) ou \(b = 0\). Se \(b \neq 0\), então \(A = 0\) e, portanto, \(B = a\). Assim, a fração parcial se torna: \[ \frac{ax}{x(x - b)} = \frac{a}{x - b} \] Agora, podemos integrar: \[ \int \frac{a}{x - b} \, dx = a \ln |x - b| + C \] Portanto, a integral \(\int \frac{ax}{x^2 - bx} \, dx\) é: \[ \int \frac{ax}{x^2 - bx} \, dx = a \ln |x - b| + C \] onde \(C\) é a constante de integração.