Para resolver a congruência linear \(12x \equiv 20 \mod 28\), precisamos seguir alguns passos. 1. Simplificar a congruência: Primeiro, vamos dividir todos os termos pela maior parte comum entre 12, 20 e 28. O máximo divisor comum (MDC) de 12, 20 e 28 é 4. Dividindo a congruência por 4, obtemos: \[ 3x \equiv 5 \mod 7 \] 2. Resolver a nova congruência: Agora, precisamos encontrar \(x\) tal que \(3x \equiv 5 \mod 7\). Para isso, podemos testar os valores de \(x\) de 0 a 6 (já que estamos trabalhando módulo 7): - \(x = 0 \Rightarrow 3(0) \equiv 0 \mod 7\) - \(x = 1 \Rightarrow 3(1) \equiv 3 \mod 7\) - \(x = 2 \Rightarrow 3(2) \equiv 6 \mod 7\) - \(x = 3 \Rightarrow 3(3) \equiv 2 \mod 7\) - \(x = 4 \Rightarrow 3(4) \equiv 5 \mod 7\) (solução encontrada) - \(x = 5 \Rightarrow 3(5) \equiv 1 \mod 7\) - \(x = 6 \Rightarrow 3(6) \equiv 4 \mod 7\) Portanto, uma solução é \(x \equiv 4 \mod 7\). 3. Encontrar as soluções módulo 28: Agora, precisamos encontrar as soluções naturais de \(x\) que satisfaçam \(x \equiv 4 \mod 7\). Isso significa que podemos escrever: \[ x = 4 + 7k \] onde \(k\) é um número inteiro. Para encontrar as soluções naturais que são incongruentes módulo 28, vamos calcular para \(k = 0, 1, 2, 3\): - Para \(k = 0\): \(x = 4 + 7(0) = 4\) - Para \(k = 1\): \(x = 4 + 7(1) = 11\) - Para \(k = 2\): \(x = 4 + 7(2) = 18\) - Para \(k = 3\): \(x = 4 + 7(3) = 25\) Para \(k = 4\), teríamos \(x = 32\), que não é uma solução natural sob módulo 28. Assim, as soluções naturais da congruência \(12x \equiv 20 \mod 28\) que são incongruentes módulo 28 são: - \(x = 4\) - \(x = 11\) - \(x = 18\) - \(x = 25\) Essas são as soluções que você procura!