Questão: Qual é a derivada da função f(x) = ln(3x^2) em relação a x? a) f'(x) = 6x/3x^2 b) f'(x) = 1/x c) f'(x) = 2x/3x^2 d) f'(x) = 3/2x

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(3x^2) \), podemos usar a regra da cadeia e a propriedade do logaritmo. 1. A derivada do logaritmo natural \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = 3x^2 \). 2. Calculamos \( u' \): \[ u' = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x \] 3. Agora aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{3x^2} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2} \] 4. Simplificando, temos: \[ f'(x) = \frac{2}{x} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( f'(x) = \frac{6x}{3x^2} \) - Esta é a forma não simplificada, mas está correta. b) \( f'(x) = \frac{1}{x} \) - Incorreta. c) \( f'(x) = \frac{2x}{3x^2} \) - Incorreta. d) \( f'(x) = \frac{3}{2x} \) - Incorreta. A alternativa correta é a) \( f'(x) = \frac{6x}{3x^2} \).