Qual é a derivada da função f(x) = e^x * ln(x)? a) f'(x) = e^x + ln(x) b) f'(x) = e^x / x c) f'(x) = e^x * (1 + ln(x)) d) f'(x) = e^x * (1/x + ln(x))

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^x \cdot \ln(x) \), precisamos usar a regra do produto, que diz que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto é dada por: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^x \) e \( u'(x) = e^x \) - \( v(x) = \ln(x) \) e \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = e^x \cdot \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x} \] Podemos fatorar \( e^x \): \[ f'(x) = e^x \left( \ln(x) + \frac{1}{x} \right) \] Assim, a derivada da função \( f(x) = e^x \cdot \ln(x) \) é: \[ f'(x) = e^x \left( \ln(x) + \frac{1}{x} \right) \] Portanto, a alternativa correta é: d) \( f'(x) = e^x \cdot \left( \frac{1}{x} + \ln(x) \right) \)