Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \cos(x) \), precisamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^{2x} \) e \( u'(x) = 2e^{2x} \) - \( v(x) = \cos(x) \) e \( v'(x) = -\sin(x) \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2e^{2x}) \cos(x) + (e^{2x})(-\sin(x)) \] Isso se simplifica para: \[ f'(x) = 2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( f'(x) = 2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x) \) - Correta! b) \( f'(x) = 2e^{2x} \sin(x) - e^{2x} \cos(x) \) - Incorreta. c) \( f'(x) = e^{2x} \cos(x) + 2e^{2x} \sin(x) \) - Incorreta. d) \( f'(x) = e^{2x} \cos(x) - 2e^{2x} \sin(x) \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( f'(x) = 2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x) \).