Qual é o valor da integral definida de f(x) = x^2 + 3x + 2 no intervalo [1, 3]? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) no intervalo \([1, 3]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a antiderivada de \( f(x) \): \[ F(x) = \int (x^2 + 3x + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C \] 2. Calcular \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 2 \cdot 3 = \frac{27}{3} + \frac{27}{2} + 6 = 9 + 13.5 + 6 = 28.5 \] 3. Calcular \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{3} + 1.5 + 2 = \frac{1}{3} + \frac{4.5}{3} = \frac{5.5}{3} \] 4. Calcular a integral definida: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = 28.5 - \frac{5.5}{3} \] Para simplificar, vamos calcular \( 28.5 \) em frações: \[ 28.5 = \frac{57}{2} \] Agora, precisamos de um denominador comum para subtrair: \[ F(1) = \frac{5.5}{3} = \frac{11}{6} \] O denominador comum entre 2 e 6 é 6: \[ \frac{57}{2} = \frac{171}{6} \] Agora, subtraímos: \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = \frac{171}{6} - \frac{11}{6} = \frac{160}{6} = \frac{80}{3} \approx 26.67 \] Parece que houve um erro na análise das opções, pois nenhuma delas corresponde ao resultado obtido. Você pode verificar os cálculos ou as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!