Qual é o valor da integral definida de f(x) = 2x^2 + 3x + 1 de 0 a 3? a) 31 b) 41 c) 51 d) 61

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^2 + 3x + 1 \) de 0 a 3, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a antiderivada de \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \] 2. Calcular a integral definida de 0 a 3: \[ \int_0^3 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = F(3) - F(0) \] - Calculando \( F(3) \): \[ F(3) = \frac{2}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2) + 3 = \frac{2}{3}(27) + \frac{3}{2}(9) + 3 = 18 + 13.5 + 3 = 34.5 \] - Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] 3. Substituindo os valores: \[ \int_0^3 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = 34.5 - 0 = 34.5 \] Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos corrigir isso: 1. Antiderivada: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \] 2. Calculando \( F(3) \) novamente: \[ F(3) = \frac{2}{3}(27) + \frac{3}{2}(9) + 3 = 18 + 13.5 + 3 = 34.5 \] 3. Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] 4. Resultado final: \[ \int_0^3 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = 34.5 \] Parece que não temos a resposta correta nas opções. Você pode verificar se a função ou os limites estão corretos? Se precisar de mais ajuda, você tem que criar uma nova pergunta.