Calcule \( \int_0^1 (2x + 1)^3 \, dx \). A) \( \frac{5}{4} \) B) \( \frac{7}{4} \) C) \( \frac{1}{2} \) D) \( 1 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (2x + 1)^3 \, dx \), vamos primeiro expandir a expressão \( (2x + 1)^3 \). Usando a fórmula do binômio, temos: \[ (2x + 1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 \] Agora, podemos integrar cada termo separadamente: \[ \int (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) \, dx = 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x + C \] Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x \right]_0^1 \] Calculando em \( x = 1 \): \[ 2(1)^4 + 4(1)^3 + 3(1)^2 + (1) = 2 + 4 + 3 + 1 = 10 \] Calculando em \( x = 0 \): \[ 2(0)^4 + 4(0)^3 + 3(0)^2 + (0) = 0 \] Portanto, a integral é: \[ 10 - 0 = 10 \] Parece que houve um erro nas opções apresentadas, pois o resultado correto da integral \( \int_0^1 (2x + 1)^3 \, dx \) é 10, que não está entre as alternativas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.