Qual é o valor da integral ∫_0^1 (x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x) dx? a) 0 b) 1/6 c) 1/5 d) 1/4

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. \(\int_0^1 x^5 \, dx = \left[\frac{x^6}{6}\right]_0^1 = \frac{1}{6}\) 2. \(\int_0^1 -x^4 \, dx = -\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = -\frac{1}{5}\) 3. \(\int_0^1 x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}\) 4. \(\int_0^1 -x^2 \, dx = -\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = -\frac{1}{3}\) 5. \(\int_0^1 x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}\) Agora, somamos todos os resultados: \[ \frac{1}{6} - \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 6, 5, 4, 3 e 2 é 60. Convertendo cada fração: - \(\frac{1}{6} = \frac{10}{60}\) - \(-\frac{1}{5} = -\frac{12}{60}\) - \(\frac{1}{4} = \frac{15}{60}\) - \(-\frac{1}{3} = -\frac{20}{60}\) - \(\frac{1}{2} = \frac{30}{60}\) Agora somamos: \[ \frac{10}{60} - \frac{12}{60} + \frac{15}{60} - \frac{20}{60} + \frac{30}{60} = \frac{10 - 12 + 15 - 20 + 30}{60} = \frac{23}{60} \] Como nenhuma das alternativas corresponde a \(\frac{23}{60}\), parece que houve um erro nas opções ou na formulação da pergunta. Porém, se você precisar de um valor aproximado, \(\frac{23}{60}\) é aproximadamente 0,3833, que não se encaixa nas opções dadas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!