Se z^4 = -16, quais são as soluções? A) 2e^{iπ/4} B) 4e^{iπ/4} C) 2e^{i(π/4 + kπ/2)} D) A e C estão corretas
Respostas
Ed 
há 10 meses
Para resolver a equação \( z^4 = -16 \), podemos reescrever \(-16\) na forma polar. Sabemos que \(-16\) pode ser escrito como \(16e^{i\pi}\) (já que o ângulo correspondente a \(-16\) no plano complexo é \(\pi\)). Agora, para encontrar as raízes quartas, usamos a fórmula: \[ z_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n} \] onde \( r = 16 \), \( \theta = \pi \), e \( n = 4 \). Calculando: 1. \( r^{1/4} = 16^{1/4} = 2 \) 2. As raízes são dadas por: \[ z_k = 2 e^{i(\pi + 2k\pi)/4} = 2 e^{i(\pi/4 + k\pi/2)} \] para \( k = 0, 1, 2, 3 \). Agora, analisando as alternativas: A) \( 2e^{i\pi/4} \) - Esta é uma das soluções. B) \( 4e^{i\pi/4} \) - Esta não é uma solução correta. C) \( 2e^{i(\pi/4 + k\pi/2)} \) - Esta é a forma geral das soluções. D) A e C estão corretas - Como a alternativa A é uma solução e a C representa a forma geral das soluções, esta alternativa também está correta. Portanto, a resposta correta é: D) A e C estão corretas.
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