Grátis: Problema 10: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). A) \(\ln(\ln(x)) + C\) B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) C) \(\ln(x) + C\) D) \(\frac...

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Problema 10: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).

A) \(\ln(\ln(x)) + C\)
B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\)
C) \(\ln(x) + C\)
D) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\)

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Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = \ln(x)\). Assim, temos que \(du = \frac{1}{x} \, dx\), o que nos permite reescrever a integral como: \[ \int \frac{1}{u} \, du \] A integral de \(\frac{1}{u}\) é \(\ln|u| + C\). Substituindo \(u\) de volta, obtemos: \[ \ln(\ln(x)) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \(\ln(\ln(x)) + C\) - Correto. B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) - Incorreto. C) \(\ln(x) + C\) - Incorreto. D) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\ln(\ln(x)) + C\).

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Problema 7: Determine o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2 - 7}{3x^3 - 4x + 1}\).

A) \(\frac{5}{3}\)
B) \(\infty\)
C) 0
D) \(-\frac{5}{3}\)

Problema 8: Calcule a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\).

A) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)
B) \(\frac{1}{2} e\)
C) \(\frac{1}{2}(e^2 - 1)\)
D) \(e - 1\)

Problema 9: Resolva a equação \(\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0\).

A) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\)
B) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\)
C) \(y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x)\)
D) \(y = C_1 e^{ix} + C_2 e^{-ix}\)

Problema 11: Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).

A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)
B) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)
C) \(\frac{2}{x^2 + 1}\)
D) \(\frac{x}{x^2 + 1}\)

Problema 12: Calcule a integral \(\int x^2 e^{x^3} \, dx\).

A) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\)
B) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\)
C) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\)
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C) 0
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A) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)
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A) \(y = \frac{1}{C - x}\)
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