Determine \( \cos(30^\circ + 45^\circ) \). a) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) b) \( \frac{1}{2} \) c) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) d) \( \frac{\sqrt{6}}{4} \)

Para determinar \( \cos(30^\circ + 45^\circ) \), podemos usar a fórmula do cosseno da soma de ângulos: \[ \cos(a + b) = \cos(a) \cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b) \] Neste caso, \( a = 30^\circ \) e \( b = 45^\circ \). Calculando os valores: - \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) - \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Substituindo na fórmula: \[ \cos(30^\circ + 45^\circ) = \cos(30^\circ) \cdot \cos(45^\circ) - \sin(30^\circ) \cdot \sin(45^\circ \] \[ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \] Agora, precisamos simplificar: \[ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] No entanto, a pergunta pede apenas o valor de \( \cos(30^\circ + 45^\circ) \), que é: \[ \cos(75^\circ) \] E sabemos que \( \cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \). Analisando as alternativas, a que mais se aproxima do resultado correto é: d) \( \frac{\sqrt{6}}{4} \) Portanto, a resposta correta é a) \( \frac{\sqrt{6}}{4} \).