Um hexágono regular tem um apótema de 5 cm. Qual é a área do hexágono? a) 30√3 cm² b) 60 cm² c) 15√3 cm² d) 50 cm²

Para calcular a área de um hexágono regular, podemos usar a fórmula: \[ \text{Área} = \frac{P \cdot a}{2} \] onde \( P \) é o perímetro e \( a \) é o apótema. Um hexágono regular tem 6 lados. Se o apótema é 5 cm, precisamos primeiro encontrar o comprimento de um lado. O apótema de um hexágono regular também pode ser relacionado ao lado \( l \) pela fórmula: \[ a = \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2} \] Assim, podemos encontrar o lado: \[ l = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 5}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \] Agora, o perímetro \( P \) do hexágono é: \[ P = 6l = 6 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} \] Agora, substituímos na fórmula da área: \[ \text{Área} = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{\left(\frac{60}{\sqrt{3}}\right) \cdot 5}{2} = \frac{300}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{150}{\sqrt{3}} \] Multiplicando o numerador e o denominador por \(\sqrt{3}\): \[ \text{Área} = \frac{150\sqrt{3}}{3} = 50\sqrt{3} \] Portanto, a área do hexágono é \( 50\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \). Analisando as alternativas, a resposta correta é: Nenhuma das alternativas apresentadas está correta.