Problema 79: Calcule \( \int_0^1 (x^4 + 2x^3 + x^2) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \) d) \( 4 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^4 + 2x^3 + x^2) \, dx \), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \( x^4 \) é \( \frac{x^5}{5} \). 2. A integral de \( 2x^3 \) é \( \frac{2x^4}{4} = \frac{x^4}{2} \). 3. A integral de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^4 + 2x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^5}{5} + \frac{1^4}{2} + \frac{1^3}{3} \right] - \left[ \frac{0^5}{5} + \frac{0^4}{2} + \frac{0^3}{3} \right] \] Isso simplifica para: \[ \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \] Agora, precisamos de um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de 5, 2 e 3 é 30. Convertendo as frações: \[ \frac{1}{5} = \frac{6}{30}, \quad \frac{1}{2} = \frac{15}{30}, \quad \frac{1}{3} = \frac{10}{30} \] Somando: \[ \frac{6}{30} + \frac{15}{30} + \frac{10}{30} = \frac{31}{30} \] Portanto, o resultado da integral é \( \frac{31}{30} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode querer verificar a questão ou as opções novamente.