Qual é o valor de \( \tan(210^\circ + 30^\circ) \)? A) \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) B) \( 1 \) C) \( 0 \) D) \( -\sqrt{3} \)

Para calcular \( \tan(210^\circ + 30^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] Neste caso, \( A = 210^\circ \) e \( B = 30^\circ \). Primeiro, vamos encontrar \( \tan(210^\circ) \) e \( \tan(30^\circ) \): - \( \tan(210^\circ) = \tan(180^\circ + 30^\circ) = \tan(30^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) - \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Agora, substituindo na fórmula: \[ \tan(210^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(210^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(210^\circ) \tan(30^\circ)} \] Substituindo os valores: \[ \tan(210^\circ + 30^\circ) = \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \] Isso simplifica para: \[ \tan(210^\circ + 30^\circ) = \frac{0}{1 + \frac{1}{3}} = 0 \] Portanto, o valor de \( \tan(210^\circ + 30^\circ) \) é \( 0 \). A alternativa correta é: C) \( 0 \).