Qual é o valor de \( \tan(150^\circ + 30^\circ) \)? A) \( -\sqrt{3} \) B) \( 1 \) C) \( 0 \) D) \( \sqrt{3} \)

Para calcular \( \tan(150^\circ + 30^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Neste caso, \( a = 150^\circ \) e \( b = 30^\circ \). Primeiro, vamos encontrar os valores de \( \tan(150^\circ) \) e \( \tan(30^\circ) \): - \( \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) - \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) Agora, substituindo na fórmula: \[ \tan(150^\circ + 30^\circ) = \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \] Isso simplifica para: \[ \tan(180^\circ) = 0 \] Portanto, o valor de \( \tan(150^\circ + 30^\circ) \) é \( 0 \). A alternativa correta é: C) \( 0 \).