Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx\). a) \(\frac{1}{5}\) b) \(\frac{2}{5}\) c) \(\frac{1}{6}\) d) \(\frac{1}{3}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral de cada termo separadamente: - A integral de \(x^4\) é \(\frac{x^5}{5}\). - A integral de \(2x^2\) é \(\frac{2x^3}{3}\). 2. Juntando as integrais: \[ \int (x^4 + 2x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} \] 3. Avaliar de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^5}{5} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \right) - 0 \] 4. Encontrar um denominador comum para somar: O denominador comum entre 5 e 3 é 15. \[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \quad \text{e} \quad \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \] Portanto, \[ \frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3}{15} + \frac{10}{15} = \frac{13}{15} \] Assim, a integral \(\int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx = \frac{13}{15}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode querer verificar as opções ou o enunciado da questão.