Qual é o limite lim_{x → 0} (x^2 - cos(x))/(x^4)? a) 0 b) 1/2 c) 1 d) Não existe

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \cos(x)}{x^4}\), vamos analisar a expressão. Primeiro, sabemos que \(\cos(x)\) pode ser aproximado pela série de Taylor em torno de \(x = 0\): \[ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6) \] Substituindo isso na expressão, temos: \[ x^2 - \cos(x) \approx x^2 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) = x^2 - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \] Simplificando, obtemos: \[ x^2 - \cos(x) \approx -1 + \frac{3x^2}{2} - \frac{x^4}{24} \] Agora, substituindo isso no limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \cos(x)}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-1 + \frac{3x^2}{2} - \frac{x^4}{24}}{x^4} \] Quando \(x\) se aproxima de 0, o termo dominante no numerador é \(-1\), então: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-1}{x^4} \to -\infty \] Portanto, o limite não existe. A resposta correta é: d) Não existe.