Grátis: Encontre a primitiva de \( f(x) = 3x^2 + 5x + 2 \). a) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) b) \( x^3 + 5x + 2 + C \) c) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 + ...

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Encontre a primitiva de \( f(x) = 3x^2 + 5x + 2 \).

a) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \)
b) \( x^3 + 5x + 2 + C \)
c) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 + C \)
d) \( x^3 + 5x^2 + 2 + C \)

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Para encontrar a primitiva da função \( f(x) = 3x^2 + 5x + 2 \), precisamos integrar cada termo da função. 1. A primitiva de \( 3x^2 \) é \( x^3 \) (usamos a regra de potência, aumentando o expoente em 1 e dividindo pelo novo expoente). 2. A primitiva de \( 5x \) é \( \frac{5}{2}x^2 \). 3. A primitiva de \( 2 \) é \( 2x \). Assim, somando todas as primitivas, temos: \[ F(x) = x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) - Correta. b) \( x^3 + 5x + 2 + C \) - Incorreta. c) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 + C \) - Incorreta (falta o termo \( 2x \)). d) \( x^3 + 5x^2 + 2 + C \) - Incorreta (o coeficiente de \( x^2 \) está errado). Portanto, a alternativa correta é: a) \( x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \).

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42. Determine o limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}.

A) 0
B) 1
C) 5
D) Não existe

Problema: Calcule a integral \( \int \tan(x) \, dx \).

A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)
B) \( \ln|\sin(x)| + C \)
C) \( \ln|\tan(x)| + C \)
D) \( \ln|\sec(x)| + C \)

Determine o limite: \\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2(x)}{x^4}

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55. Calcule a integral:

\[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \]

A) \(\tan^{-1}(x) + C\)

B) \(\sin^{-1}(x) + C\)

C) \(\cos^{-1}(x) + C\)

D) \(\ln(x) + C\)

Resposta: A) \(\tan^{-1}(x) + C\)

Explicação: A integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é uma das integrais básicas.

A) \(\tan^{-1}(x) + C\)
B) \(\sin^{-1}(x) + C\)
C) \(\cos^{-1}(x) + C\)
D) \(\ln(x) + C\)

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