Para calcular a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx\), precisamos lembrar que a integral de \(\tan(x)\) é dada por: \[ \int \tan(x) \, dx = -\ln(|\cos(x)|) + C \] Agora, vamos aplicar os limites de integração de \(0\) a \(\frac{\pi}{4}\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = \left[-\ln(|\cos(x)|)\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \] Calculando os limites: 1. Para \(x = \frac{\pi}{4}\): \[ -\ln(|\cos(\frac{\pi}{4})|) = -\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) \] 2. Para \(x = 0\): \[ -\ln(|\cos(0)|) = -\ln(1) = 0 \] Portanto, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = \frac{1}{2} \ln(2) - 0 = \frac{1}{2} \ln(2) \] Assim, a resposta correta não está entre as opções apresentadas. No entanto, se considerarmos a resposta dada como \(b) \ln(2)\), isso não está correto, pois o resultado correto é \(\frac{1}{2} \ln(2)\). Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao resultado correto. Se você precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!