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Problema 18: Encontre a derivada da função: y = \\sin(x^2 + 3x) a) \\cos(x^2 + 3x)(2x + 3) b) \\cos(2x + 3) c) \\sin(2x + 3) d) \\cos(x^2 + 3x)

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Para encontrar a derivada da função \( y = \sin(x^2 + 3x) \), precisamos aplicar a regra da cadeia. A derivada da função seno é o cosseno da função interna multiplicado pela derivada da função interna. 1. A função interna é \( u = x^2 + 3x \). 2. A derivada da função interna \( u \) em relação a \( x \) é \( \frac{du}{dx} = 2x + 3 \). 3. A derivada da função externa \( y = \sin(u) \) é \( \frac{dy}{du} = \cos(u) \). Agora, aplicando a regra da cadeia: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(x^2 + 3x) \cdot (2x + 3) \] Portanto, a derivada da função \( y = \sin(x^2 + 3x) \) é: \[ \frac{dy}{dx} = \cos(x^2 + 3x)(2x + 3) \] Assim, a alternativa correta é: a) \(\cos(x^2 + 3x)(2x + 3)\).

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Problema 19: Qual é a derivada de f(x) = \\ln(\\sin(x))?

a) \\cot(x)
b) \\tan(x)
c) \\frac{\\cos(x)}{\\sin(x)}
d) \\frac{1}{\\sin(x)}

Problema 20: A função f(x) = e^{-x^2} tem a derivada:

a) -2xe^{-x^2}
b) 2xe^{-x^2}
c) e^{-x^2}
d) -x e^{-x^2}

Problema 21: Calcule a integral: \\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx

a) 0
b) 1
c) 2
d) -1

Problema 22: Resolva a equação: \\frac{dy}{dx} = y \\ln(y)

a) y = C e^{x^2/2}
b) y = C e^{x}
c) y = Ce^{-x}
d) y = C e^{x^2}

Problema 23: Calcule a integral: \\int_0^1 (1 - x^2)^4 \, dx

a) \\frac{5}{12}
b) \\frac{2}{15}
c) \\frac{1}{5}
d) \\frac{1}{2}

Problema 24: Encontre a integral: \\int (x + 1)(x - 1) \, dx

a) \\frac{x^3}{3} - x + C
b) \\frac{x^3}{3} + C
c) \\frac{x^2}{2} + C
d) \\frac{x^3}{6} + C

Problema 25: Calcule: \\int_0^1 (3x^2 + 2x) e^{-x^3} \, dx

a) 1 - e^{-1}
b) \\frac{1}{3}(1 - e^{-1})
c) e^{-1}
d) 1 - e^{-3}

Problema 26: Calcule a integral: \\int \\tan^2(x) \, dx

a) -\\ln|\\cos(x)| + C
b) \\tan(x) + C
c) -\\tan(x) + C
d) \\tan(x) + \\ln(\\sec(x)) + C

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