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Problema 21: Calcule a integral: \\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx a) 0 b) 1 c) 2 d) -1

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Para calcular a integral \(\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\). 1. A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-x^3\). 3. A antiderivada de \(3x\) é \(\frac{3x^2}{2}\). 4. A antiderivada de \(-1\) é \(-x\). Assim, a antiderivada \(F(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{3x^2}{2} - x \] Agora, vamos calcular \(F(2)\) e \(F(0)\): \[ F(2) = \frac{2^4}{4} - 2^3 + \frac{3 \cdot 2^2}{2} - 2 = \frac{16}{4} - 8 + \frac{3 \cdot 4}{2} - 2 \] \[ = 4 - 8 + 6 - 2 = 0 \] \[ F(0) = \frac{0^4}{4} - 0^3 + \frac{3 \cdot 0^2}{2} - 0 = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx = F(2) - F(0) = 0 - 0 = 0 \] Portanto, a resposta correta é: a) 0

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b) y = C e^{x}
c) y = Ce^{-x}
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b) \\frac{2}{15}
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Problema 25: Calcule: \\int_0^1 (3x^2 + 2x) e^{-x^3} \, dx

a) 1 - e^{-1}
b) \\frac{1}{3}(1 - e^{-1})
c) e^{-1}
d) 1 - e^{-3}

Problema 26: Calcule a integral: \\int \\tan^2(x) \, dx

a) -\\ln|\\cos(x)| + C
b) \\tan(x) + C
c) -\\tan(x) + C
d) \\tan(x) + \\ln(\\sec(x)) + C

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