Para resolver a integral \(\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx\), podemos usar a substituição. Vamos definir \(u = x^2 + 1\), então \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{x}{u} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\) - Correta, conforme nosso cálculo. b) \(-\ln|x^2 + 1| + C\) - Incorreta. c) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Incorreta. d) \(-\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\).