Cálculo Numérico

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Calcule a integral indefinida \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx. A) \tan^{-1}(x) + C B) \sin^{-1}(x) + C C) \frac{1}{x} + C D) \ln|x| + C

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Para calcular a integral indefinida \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\), sabemos que a integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\) é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. Assim, a integral é: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Analisando as alternativas: A) \(\tan^{-1}(x) + C\) - Correta. B) \(\sin^{-1}(x) + C\) - Incorreta. C) \(\frac{1}{x} + C\) - Incorreta. D) \(\ln|x| + C\) - Incorreta. Portanto, a resposta correta é a) \(\tan^{-1}(x) + C\).

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Resolva y'' + 4y = 0 com condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0.

A) y = cos(2x)
B) y = sin(2x)
C) y = 2cos(2x)
D) y = e^{-2x}

Calcule o limite lim_{x o ext{infinito}} \frac{\ln(x)}{x}.

A) 0
B) 1
C) -\infty
D) \infty

Encontre a soma dos zeros da função f(x) = x^4 - 12x^2 + 36.

A) 0
B) 12
C) 6
D) 24

Determine a série de Fourier da função f(x) = x em (-\pi, \pi).

A) \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\sin(nx)
B) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n^2}\sin(nx)
C) -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin(nx)
D) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)

Calcule lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}.

A) 1
B) 0
C) e
D) -1

Calcule o vetor gradiente da função f(x, y) = x^2y + y^3.

A) (2xy, x^2 + 3y^2)
B) (x^2 + 3y^2, 2xy)
C) (2y, 3y^2)
D) (2x, 3y^2)

Calcule a integral de linha \int_C y^2 \, dx + x^2 \, dy onde C é a curva y = x^2 de x = 0 a x = 1.

A) \frac{1}{3}
B) \frac{1}{4}
C) \frac{1}{6}
D) \frac{1}{2}

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C) y = 2cos(2x)
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Calcule o limite lim_{x o ext{infinito}} \frac{\ln(x)}{x}.

A) 0
B) 1
C) -\infty
D) \infty

Encontre a soma dos zeros da função f(x) = x^4 - 12x^2 + 36.

A) 0
B) 12
C) 6
D) 24

Determine a série de Fourier da função f(x) = x em (-\pi, \pi).

A) \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\sin(nx)
B) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n^2}\sin(nx)
C) -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin(nx)
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A) 1
B) 0
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D) -1

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A) (2xy, x^2 + 3y^2)
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Calcule a integral de linha \int_C y^2 \, dx + x^2 \, dy onde C é a curva y = x^2 de x = 0 a x = 1.

A) \frac{1}{3}
B) \frac{1}{4}
C) \frac{1}{6}
D) \frac{1}{2}

Determinar o fluxo do campo \mathbf{F}(x, y) = (x, y) através da semicircunferência x^2 + y^2 = 1 para y \geq 0.

A) \frac{\pi}{2}
B) \pi

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A) 0
B) 12
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B) \frac{1}{4}
C) \frac{1}{6}
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A) \frac{\pi}{2}
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