Grátis: Encontre as raízes da função: \[f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\] a) 1, 2, 3 b) 0, 1, 2 c) 1, 1, 4 d) 2, 2, 1 **Resposta**: a) 1, 2, 3 **E... – Questões Respondidas

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Encontre as raízes da função:
\[f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\]
a) 1, 2, 3
b) 0, 1, 2
c) 1, 1, 4
d) 2, 2, 1
**Resposta**: a) 1, 2, 3
**Explicação**: Fatoramos a função: \(f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\). Portanto, as raízes da função são \(x = 1\), \(x = 2\), e \(x = 3\).

a) 1, 2, 3
b) 0, 1, 2
c) 1, 1, 4
d) 2, 2, 1

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Para encontrar as raízes da função \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\), podemos fatorá-la. A fatoração que você mencionou é correta: \[f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\] Isso significa que as raízes da função são \(x = 1\), \(x = 2\) e \(x = 3\). Portanto, a alternativa correta é: a) 1, 2, 3.

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Calcule o limite:
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\]
a) 5
b) 1
c) 0
d) 10
Resposta: a) 5
Explicação: Usamos a regra do limite fundamental do seno: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\). Assim, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 5 \cdot 1 = 5\).

a) 5
b) 1
c) 0
d) 10

Determine a integral:
\[\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx\]
a) \(x^3 - x^2 + x + C\)
b) \(x^3 - x + C\)
c) \(x^3 - x^2 + C\)
d) \(x^2 - x + C\)
Resposta: a) \(x^3 - x^2 + x + C\)
Explicação: Integrando termo a termo, temos \(\int 3x^2 \, dx = x^3\), \(\int -2x \, dx = -x^2\), \(\int 1 \, dx = x\). Portanto, a integral é \(x^3 - x^2 + x + C\).

a) \(x^3 - x^2 + x + C\)
b) \(x^3 - x + C\)
c) \(x^3 - x^2 + C\)
d) \(x^2 - x + C\)

Calcule a derivada:
\[\frac{d}{dx}(e^{2x} \cos(x))\]
a) \(2e^{2x}\cos(x) - e^{2x}\sin(x)\)
b) \(e^{2x}(\cos(x) - \sin(x))\)
c) \(2e^{2x} \sin(x)\)
d) \(e^{2x}(2\cos(x) - \sin(x))\)
Resposta: d) \(e^{2x}(2\cos(x) - \sin(x))\)
Explicação: Usamos a regra do produto: \(\frac{d}{dx}(u v) = u'v + uv'\), onde \(u = e^{2x}\) e \(v = \cos(x)\). Portanto, \(u' = 2e^{2x}\) e \(v' = -\sin(x)\). Assim, obtemos:
\[2e^{2x}\cos(x) - e^{2x}\sin(x) = e^{2x}(2\cos(x) - \sin(x)).\]

a) \(2e^{2x}\cos(x) - e^{2x}\sin(x)\)
b) \(e^{2x}(\cos(x) - \sin(x))\)
c) \(2e^{2x} \sin(x)\)
d) \(e^{2x}(2\cos(x) - \sin(x))\)

Determine a série de Taylor de \(f(x) = \ln(1+x)\) em torno de \(x=0\) até a ordem 4.
a) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \mathcal{O}(x^5)\)
b) \(\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \mathcal{O}(x^5)\)
c) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{12} + \mathcal{O}(x^5)\)
d) \(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \mathcal{O}(x^5)\)
Resposta: a) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \mathcal{O}(x^5)\)
Explicação: As derivadas de \(f(x)\) em \(x = 0\) são \(f(0) = 0\), \(f'(0) = 1\), \(f''(0) = -\frac{1}{2}\), \(f'''(0) = \frac{1}{3}\), \(f^{(4)}(0) = -\frac{1}{4}\). Assim, a série é:
\[f(x) \approx 0 + 1(x - 0) - \frac{1}{2}\frac{x^2}{2} + \frac{1}{3}\frac{x^3}{6} - \frac{1}{4}\frac{x^4}{24}.\]

a) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \mathcal{O}(x^5)\)
b) \(\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \mathcal{O}(x^5)\)
c) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{12} + \mathcal{O}(x^5)\)
d) \(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \mathcal{O}(x^5)\)

Calcule a integral:
\[\int_0^1 6x(1 - x)^2 \, dx\]
a) \(\frac{1}{2}\)
b) \(\frac{1}{6}\)
c) \(\frac{1}{3}\)
d) \(\frac{2}{3}\)
Resposta: d) \(\frac{2}{3}\)
Explicação: Expandindo \(6x(1 - x)^2 = 6x(1 - 2x + x^2)\), temos \(6x - 12x^2 + 6x^3\). Agora, integramos:
\[\int_0^1 (6x - 12x^2 + 6x^3) \, dx = \left[3x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2}x^4\right]_0^1 = 3 - 4 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]

a) \(\frac{1}{2}\)
b) \(\frac{1}{6}\)
c) \(\frac{1}{3}\)
d) \(\frac{2}{3}\)

Resolva a equação diferencial:
\[\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}\]
a) \(C e^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x}\)
b) \(C e^{-2x} - \frac{1}{3}e^{-x}\)
c) \(C e^{-2x} + 3e^{-x}\)
d) \(C e^{-2x} - 3e^{-x}\)

a) \(C e^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x}\)
b) \(C e^{-2x} - \frac{1}{3}e^{-x}\)
c) \(C e^{-2x} + 3e^{-x}\)
d) \(C e^{-2x} - 3e^{-x}\)