APOSTILA DE MATEMÁTICA - 1 ANO

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MATEMÁTICA
01 - Probabilidade - definição
02 - União de eventos
03 - Intersecção de eventos
Blaise Pascal 
(19/06/1623 – 19/08/1662)
Criação da Teoria das probabilidades 
C2_2oA_MAT_Rose_2013 24/09/12 10:02 Página 1
Probabilidade 
MATEMÁTICA - 1° ANO 
UNIDADE III 
PROFESSORES ROBÉRIO VALENTE E VANCLER MIRANDA
MATEMÁTICA2
Probabilidade – definição • Espaço amostral
• Evento • Possibilidade
Numa experiência com vários resultados possíveis,
todos com a “mesma chance”, dizemos que:
a) Ponto Amostral é qualquer um dos resultados
possíveis.
b) Espaço Amostral (representado por S) é o con -
junto de todos os resultados possíveis.
c) Evento (representado por A) é qualquer subcon -
junto do espaço amostral.
d) n(S) é o número de elementos de S e n(A) é o
número de elementos de A.
A probabilidade de ocorrer o evento A, represen tada
por P(A), de um espaço amostral S � Ø, é o quociente
entre o número de elementos de A e o número de
elementos de S.
Simbolicamente:
Na prática costuma-se dizer que a probabilidade é o
quociente entre o número de casos favoráveis que é
n(A) e o número de casos possíveis que é n(S).
Exemplo 1
Na experiência de jogar um dado ho nes to de seis
faces, numera das de 1 a 6 temos:
a) O ponto amostral é a face nu me rada ou apenas o
número.
b) O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6.
c) O evento “número ímpar” é A = {1,3,5} e n(A) = 3.
n(A)
P(A) = ––––––
n(S)
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d) A probabilidade de obter um “nú mero ímpar” é
e) O evento “número menor que 3” é A = {1, 2} e
n(A) = 2.
f) A probabilidade de obter um “nú me ro menor que
3” é:
Exemplo 2
n(A) 3 1
P(A) = –––––– = ––– = –––
n(S) 6 2
n(A) 2 1
P(A) = –––––– = ––– = –––
n(S) 6 3
Na experiência de retirar uma carta de um baralho
co mum de 52 cartas, te mos:
a) O ponto amostral é a carta.
b) O espaço amostral é o con jun to S de todas as
cartas do baralho e, portanto, n(S) = 52.
c) O evento “dama” é formado por 4 cartas e, por -
tan to, n(A) = 4.
1
MATEMÁTICA
d) A probabilidade de obter uma dama é e) O evento “carta de copas” é forma do por 13 car -
tas e portanto n(A) = 13.
f) A probabilidade de obter uma carta de copas é
n(A) 13 1
P(A) = –––––– = –––– = –––
n(S) 52 4
n(A) 4 1
P(A) = –––––– = –––– = ––––
n(S) 52 13
� (UNESP) – Numa pesquisa feita com 200
homens, observou-se que 80 eram casados,
20 sepa rados, 10 eram viúvos e 90 eram
solteiros. Escolhido um homem ao acaso, a
pro ba bi lidade de ele não ser solteiro é
a) 0,65. b) 0,6. c) 0,55.
d) 0,5. e) 0,35.
Resolução
Dos 200 homens, 110 não são solteiros e a
probabi lidade pedida é, portanto
= 0,55 = 55%
Resposta: C
� (FGV) – As seis faces do dado A estão
marcadas com 1, 2, 3, 3, 5, 6; e as seis faces
do dado B estão marcadas com 1, 2, 4, 4, 5 e
6. 
Considere que os dados A e B são honestos no
sentido de que a chance de ocorrência de cada
uma de suas faces é a mesma. Se os dados A
e B forem lançados simultaneamente, a
probabilidade de que a soma dos números
obtidos seja ímpar é igual a
a) . b) . c) .
d) . e) .
Resolução
A partir do enunciado, as possibilidades das
somas dos números obtidos, está represen -
tada na tabela a seguir
Notando que dentre as 36 possibilidades, a so -
ma ob tida é ímpar em 20 possibilidades,
conclui-se que, a probabilidade de que a soma
dos números obtidos seja ímpar é:
P = = .
Resposta: A
20
—––
36
5
—–
9
1 2 3 3 5 6
1 2 3 4 4 6 7
2 3 4 5 5 7 8
4 5 6 7 7 9 10
4 5 6 7 7 9 10
5 6 7 8 8 10 11
6 7 8 9 9 11 12
2
–––
9
1
–––
3
4
–––
9
1
–––
2
5
–––
9
110
–––––
200
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� Joga-se, ao acaso, um dado “honesto” de seis faces
numeradas de 1 a 6 e lê-se o número da face voltada para cima.
Calcular a probabilidade de obter:
b) um número par
d) um número menor que 7
a) o número 1
c) um número maior que 4
e) um número maior que 6
� Numa urna existem 4 bolas numeradas de 1 a 4 que 
diferem apenas pela numeração. Retiram-se duas bolas ao 
acaso e simultaneamente. Qual a probabi lidade de obter bolas 
com números que têm soma par?
� Lançam-se dois dados “honestos” com faces numeradas
de 1 a 6. Pede-se :
a) O espaço amostral desta experiência.
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
b) A probabilidade de que a soma obtida seja 10.
c) A probabilidade de obter dois números iguais.
3
MATEMÁTICA
a) Dados dois eventos A e B de um espaço amostral
S � Ø, a probabilidade de ocorrer A ou B é:
Demonstração
Se A e B forem dois eventos de um espaço amos tral
S, então n(A � B) = n(A) + n(B) – n(A � B)
Dividindo ambos os membros por n(S) temos:
= + – ⇔
⇔ P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)
P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)
n(A � B)
–––––––––
n(S)
n(B)
–––––
n(S)
n(A)
–––––
n(S)
n(A � B)
––––––––––
n(S)
União de eventos • Eventos exclusivos
• Eventos exaustivos
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b) Se A � B = Ø então A e B são cha mados eventos
mutuamente exclu sivos. 
Neste caso P(A � B) = 0 e por tanto
c) Se A � B = Ø e A � B = S então A e B são cha -
ma dos eventos exaus ti vos. 
Neste caso além de P(A � B) = 0 temos também 
P(A � B) = P(S) = 1. Logo:
P(A � B) = P(A) + P(B)
P(A � B) = P(A) + P(B) = 1
� Retirando uma carta de um baralho
comum de 52 cartas, qual é a proba bilidade de
ocorrer uma dama ou uma carta de ouros?
Resolução
Se A for o evento “dama” e B o evento “carta
de ouros” temos:
n(A) = 4, n(B) = 13, n(A � B) = 1 e n(S) = 52.
Assim sendo: 
P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B) =
1 16134 4
= –––– + –––– – –––– = –––– = ––––
52 52 52 52 13
� Dois dados perfeitos e distinguíveis são
lançados ao acaso. A proba bilidade de os dois
números obtidos serem ímpares ou terem
soma maior que 7 é:
a) b) c)
d) e)
Resolução
I) P(números ímpares) =
II) P(soma maior que 7) =
III) P(ímpares e soma maior que 7) =
IV) P(ímpares ou soma maior que 7) =
– === +
Resposta: E
7
–––
12
4
–––
9
17
–––
36
1
–––
2 7
–––
12
21
–––
36
3
–––
36
15
–––
36
9
–––
36
3
 –––
36
15
 –––
36
9
 –––
36
7
–––
18
4
2
MATEMÁTICA
� Retirando ao acaso uma carta de um baralho comum de 52
cartas, qual a probabilidade de obter:
b) um rei
d) um rei ou uma dama
a) uma dama
c) uma carta de copas
e) um rei ou uma carta de copas
� Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte com po -
sição:
Marcando-se um encontro com uma delas, escolhen do seu
nome ao acaso, qual a probabilidade de sair:
a) Uma loira?
b) Uma loira de olhos castanhos ou uma morena de olhos
azuis?
Loiras Morenas Total
Olhos azuis 10 20 30
Olhos castanhos 30 40 70
Total 40 60 100
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� (FUVEST) – Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa
percebeu que a face “6” saía com o dobro da frequência da
face “1” e que as outras faces saíam com a frequência espe -
rada em um dado não viciado. Qual a frequência da face “1”?
a) b) c) d) e)
1
––
3
2
––
3
1
––
9
2
––
9
1
–––
12
� (ENEM)
A vida na rua como ela é
O Ministério do Desenvolvimento Social e Combate à
Fome (MDS) realizou, em parceria com a ONU, uma pesquisa
nacional sobre a população que vive na rua, tendo sido ouvidas
31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras. Nesse levan- 
tamento, constatou-se que a maioria dessa população sabe ler
e escrever (74%), que apenas 15,1% vivem de esmolas e que,
entre os moradores de rua que ingressaram no ensino superior,
0,7% se diplomou. 
Outros dados da pesquisa são apresentados nos quadros
abaixo.
Isto é, 7/5/2008, p. 21 (com adaptações).
No universo pesquisado, considere que P seja o con junto das
pessoas que vivem na rua por motivos de alcoolismo/drogas e
Q seja o conjunto daquelas cujo motivo para viverem na rua é
a decepção amorosa. 
Escolhendo-se ao acaso uma pessoa no grupo pesqui sado e
supondo-se que seja igual a 40% a probabilidade de que essa
pessoa faça parte do conjunto P ou do conjunto Q, então a
probabilidade de que ela faça parte do conjunto interseção de
P e Q é igual a
a) 12%. b) 16%. c) 20%. d) 36%.e) 52%.
5
MATEMÁTICA
3 Intersecção de eventos • Eventos dependentes• Eventos independentes
1. Probabilidade condicionada
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S,
finito e não vazio, chama-se probabilidade de B con -
dicionada a A, a probabilidade de ocorrer B sa bendo
que já ocorreu A. 
Representa-se por P(B/A). 
Assim:
2. Intersecção de eventos
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral
S � Ø, sabemos que P(B/A) = . Divindo nu -
me rador e denominador do 2º membro por n(S) temos:
Assim sendo:
Analogamente, demonstra-se que:
3. Eventos independentes
a) Definição
Dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito
e não vazio, são independentes se, e somente se:
b) Propriedade
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral
S � Ø, dizemos que:
A e B são independentes ⇔ P(A � B) = P(A) . P(B)
A e B são dependentes ⇔ P(A � B) ≠ P(A) . P(B)
P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B)
P(A � B) = P(B) . P(A/B)
P(A � B) = P(A) . P(B/A)
n(A � B)
–––––––––
n(A � B) n(S) P(A � B)
P(B/A) = ––––––––– = ––––––––––– = ––––––––––
n(A) n(A) P(A)
–––––
n(S)
n(A � B)
–––––––––
n(A)
n(A � B)
P(B/A) = –––––––––
n(A)
� (VUNESP) – Para uma partida de futebol,
a proba bilidade de o jogador R não ser escalado
é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser es -
calado é 0,7. Sabendo que a escalação de um
deles é independente da escalação do ou tro, a
probabilidade de os dois jogadores serem
escalados é:
a) 0,06 b) 0,14 c) 0,24
d) 0,56 e) 0,72
Resolução
A probabilidade de os dois jogadores serem
escalados é 0,8 . 0,7 = 0,56.
Resposta: D
� (FEI) – Numa competição, há três equipes
formadas por homens (h) e mulheres (m), co -
mo segue: Equipe A: 4h e 6m; Equipe B: 5h e
5m e Equipe C: 7h e 3m. De cada equipe, es -
colhe-se aleatoriamente um atleta. 
A proba bilidade de que os três sejam do mesmo
sexo é:
a) 0,09 b) 0,23 c) 0,14
d) 0,023 e) 0,005
Resolução
a) A probabilidade de serem 3 homens é
p1 = . . = = 0,14.
b) A probabilidade de serem 3 mulheres é
p2 = . . = = 0,09.
A probabilidade pedida é 
p = p1 + p2 = 0,14 + 0,09 = 0,23.
Resposta: B
90
–––––
1000
3
–––
10
5
–––
10
6
–––
10
140
–––––
1000
7
–––
10
5
–––
10
4
–––
10
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6
MATEMÁTICA
� Retirando uma carta de um baralho comum, de 52 cartas,
e sabendo-se que saiu uma carta de ouros, qual é a proba bili -
dade de ser uma dama?
� Joga-se um dado “honesto” de seis faces numeradas de
1 a 6. Qual é a probabilidade de obter:
a) o número 1 sabendo que saiu um número ímpar?
b) um número par sabendo que saiu um número maior que 3?
� Numa urna existem 6 bolas laranjas e 4 bolas verdes que
dife rem pela cor ou pela nu meração. As laranjas es tão nume -
radas de 1 a 6, e as verdes de 1 a 4. 
Reti rando uma bola ao acaso, os even tos “bola laranja” e 
“número par”, são de pen dentes ou in depen dentes?
� Uma urna tem apenas 10 bolas, sendo 7 pretas e 3 bran -
cas. Retirando duas bolas, ao acaso e com reposição da pri mei -
ra antes de retirar a segunda, qual é a proba bilidade de obter
duas bolas brancas.
� (UFSCar – MODELO ENEM) – Gustavo e sua irmã
Caroline via jaram de férias para cidades distintas. Os pais reco -
men dam que ambos tele fonem quando chegar ao destino. A
experiência em férias an teriores mostra que nem sem pre
Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A
probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de
Caroline telefonar é 0,8. A proba bilidade de pelo menos um dos
filhos contactar os pais é:
a) 0,20 b) 0,48 c) 0,64 d) 0,86 e) 0,92
� (UNICAMP – MODELO ENEM) – Ao se tentar abrir uma 
porta com um chaveiro contendo várias chaves parecidas, das 
quais apenas uma destranca a referida porta, muitas pessoas 
acreditam que é mínima a chance de se encontrar a chave 
certa na 1a. ten tativa, e chegam mesmo a dizer que essa chave 
só vai aparecer na última tentativa. Para esclarecer essa 
questão, calcule, no caso de um chaveiro contendo 5 chaves, 
a) a probabilidade de se encontrar a chave certa depois da
1a. tentativa;
b) a probabilidade de se acertar na 1a. tentativa;
c) a probabilidade de se acertar somente na última tentativa.
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7
1) (UFV) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a
100. A probabilidade do bilhete sorteado ser um número
maior que 40 ou número par é
A) 50% B) 60% C) 70% D) 80% E) 90%
2) (ENEM) Todo o país passa pela primeira fase de
campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1).
Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio
Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no
país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo
com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência
do crescimento da doença, que já matou 17 mil no
mundo. A tabela apresenta dados específicos de um
único posto de vacinação.
Datas da 
Vacinação 
Público- alvo 
Quantidade 
de 
Pessoas 
vacinadas 
8 a 19 de 
março 
Trabalhadores da 
saúde e indígenas 
42 
22 de março a 
2 de abril 
Portadores de 
doenças crônicas 
22 
5 a 23 de abril 
Adultos saudáveis 
entre 20 e 29 anos 
56 
24 de abril a 7 
de maio 
População com 
maus de 60 anos 
30 
10 a 21 de 
maio 
Adultos saudáveis 
entre 30 e 39 anos 
50 
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida 
nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser 
portadora de doença crônica é 
A) 22% B) 12% C) 11% D) 9% E) 8%
3) Em uma empresa existem 70 funcionários,
distribuídos da seguinte forma: 44 homens, 10 mulheres
com mais de 50 anos e 19 homens com mais de 50
anos.
Um funcionário será sorteado para ganhar uma viagem
como parte do programa de premiação da empresa.
Qual é a probabilidade do funcionário ser homem ou ter
mais de 50 anos?
A) 
35
27
 B) 
35
22
 C) 
7
1
 D) 
70
19
 E) 
70
13
4) Um aluno prestou vestibular em apenas duas
Universidades. Suponha que, em uma delas, a
probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%,
enquanto na outra, pelo fato de a prova ter sido mais
fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%.
Nessas condições, a probabilidade deque esse aluno
seja aprovado em pelo menos uma dessas
Universidades é de:
A) 52% B) 58% C) 60% D) 68% E) 70%
 Atividade Avaliativa – Matemática - 1° Ano 
Professor: _________________________ 1° Período do 3° Bimestre 
Aluno: _________________________________________ Turma: _____ 
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
1) (PUC) Jogamos dois dados comuns. Qual a
probabilidade de que o total de pontos seja igual a 10?
A) 
12
1
 B) 
11
1
 C) 
10
1
 D) 
23
2
 E) 
6
1
2) (UFMG) Dois jovens partiram, do acampamento em
que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à
Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a
trilha indicada neste esquema:
Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles 
escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos 
caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO 
afirmar que a probabilidade de eles chegarem à 
Cachoeira Pequena é: 
A) 
2
1
 B) 
3
2
 C) 
4
3
 D) 
6
5
 E) 
4
1
3) (PUC) Admita que o serviço meteorológico afirme que
a probabilidade de choverem um determinado dia seja
igual a 
5
3
. Nesse mesmo dia, a probabilidade de 
Francisco ir ao cinema é de 
4
1
. 
A probabilidade de Francisco ir ao cinema e não chover 
nesse dia é igual a: 
A) 5% B) 8% C) 10% D) 12% E) 15%
4) (ENEM) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada
uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas
línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa
constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam
espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e
sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade
de que esse aluno fale espanhol?
A) 
14
5
 B) 
6
5
 C) 
4
1
 D) 
8
5
 E) 
2
1
 Atividade Avaliativa – Matemática - 1° Ano 
Professor: _________________________ 2° Período do 3° Bimestre 
Aluno: _________________________________________ Turma: _____ 
DANIEL
Realce
DANIELRealce
DANIEL
Realce
DANIEL
Realce
	Sem nome
	Sem nome
	Sem nome