Quem é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \] a) 2 b) 4 c) 1 d) \(\infty\) Resposta: b) 2 Explicação: Aplique-s...

Quem é:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}
\]

a) 2

b) 4

c) 1

d) \(\infty\)

**Resposta: b) 2**

**Explicação:** Aplique-se novamente a regra de L'Hôpital.

a) 2
b) 4
c) 1
d) \(\infty\)

Questões Para a Compreensão

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Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\), podemos usar a propriedade do limite fundamental que diz que \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\). Neste caso, podemos reescrever o limite da seguinte forma: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 \] Agora, aplicamos a propriedade do limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1 \] Portanto, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 1 \cdot 2 = 2 \] Assim, a resposta correta é a) 2.

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Qual é o resultado de:

\[
\int_0^1 e^{2x} \, dx
\]

a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)

b) \(e - 1\)

c) 1

d) \(\frac{1}{2}\)

Resposta: a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)

Explicação: Diretamente computado através de integrais.

a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)
b) \(e - 1\)
c) 1
d) \(\frac{1}{2}\)

Calcule:

\[
\int \sin(3x) \, dx
\]

a) \(-\frac{1}{3} \cos(3x) + C\)

b) \(\frac{1}{3} \sin(3x) + C\)

c) \(-3\cos(3x) + C\)

d) \(\cos(3x) + C\)

Resposta: a) \(-\frac{1}{3} \cos(3x) + C\)

Explicação: Saber que a integral de \(\sin(kx) = -\frac{1}{k}\cos(kx)\).

a) \(-\frac{1}{3} \cos(3x) + C\)
b) \(\frac{1}{3} \sin(3x) + C\)
c) \(-3\cos(3x) + C\)
d) \(\cos(3x) + C\)

Qual é o valor do limite?

\[
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n
\]

a) 2

b) \(e^2\)

c) \(e\)

d) \(\infty\)

Resposta: b) \(e^2\)

Explicação: Esta é uma forma alternativa de escrita para o número \(e\).

a) 2
b) \(e^2\)
c) \(e\)
d) \(\infty\)

Calcule a integral:

\[
\int (3x^2 + 2) \, dx
\]

a) \(x^3 + 2x + C\)

b) \(3x + 2 + C\)

c) \(3x^3 + 2x + C\)

d) \(x^3 + C\)

Resposta: a) \(x^3 + 2x + C\)

Explicação: A integral é direta de cada termo.

a) \(x^3 + 2x + C\)
b) \(3x + 2 + C\)
c) \(3x^3 + 2x + C\)
d) \(x^3 + C\)

Qual é o resultado da integral:

\[
\int_1^2 2x \, dx
\]

a) \(3\)

b) \(\frac{4}{3}\)

c) \(5\)

d) \(\frac{3}{2}\)

Resposta: a) \(3\)

Explicação: Integração computa-se como \(x^{2}\).

a) \(3\)
b) \(\frac{4}{3}\)
c) \(5\)
d) \(\frac{3}{2}\)

Calcule:

\[
\int_0^2 (x^3 - 3) \, dx
\]

a) \(1\)

b) \(3\)

c) \(0\)

d) \(\frac{1}{4}\)

Resposta: b) \(1\)

Explicação: Passe pela integral computando e checando.

a) \(1\)
b) \(3\)
c) \(0\)
d) \(\frac{1}{4}\)

Cálculo

Quem é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \] a) 2 b) 4 c) 1 d) \(\infty\) Resposta: b) 2 Explicação: Aplique-s...

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Qual é o resultado de:

\[
\int_0^1 e^{2x} \, dx
\]

a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)

b) \(e - 1\)

c) 1

d) \(\frac{1}{2}\)

Resposta: a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)

Explicação: Diretamente computado através de integrais.

a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)
b) \(e - 1\)
c) 1
d) \(\frac{1}{2}\)

Qual é o valor do limite?

\[
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n
\]

a) 2

b) \(e^2\)

c) \(e\)

d) \(\infty\)

Resposta: b) \(e^2\)

Explicação: Esta é uma forma alternativa de escrita para o número \(e\).

a) 2
b) \(e^2\)
c) \(e\)
d) \(\infty\)

Calcule a integral:

\[
\int (3x^2 + 2) \, dx
\]

a) \(x^3 + 2x + C\)

b) \(3x + 2 + C\)

c) \(3x^3 + 2x + C\)

d) \(x^3 + C\)

Resposta: a) \(x^3 + 2x + C\)

Explicação: A integral é direta de cada termo.

a) \(x^3 + 2x + C\)
b) \(3x + 2 + C\)
c) \(3x^3 + 2x + C\)
d) \(x^3 + C\)

Qual é o resultado da integral:

\[
\int_1^2 2x \, dx
\]

a) \(3\)

b) \(\frac{4}{3}\)

c) \(5\)

d) \(\frac{3}{2}\)

Resposta: a) \(3\)

Explicação: Integração computa-se como \(x^{2}\).

a) \(3\)
b) \(\frac{4}{3}\)
c) \(5\)
d) \(\frac{3}{2}\)

Calcule:

\[
\int_0^2 (x^3 - 3) \, dx
\]

a) \(1\)

b) \(3\)

c) \(0\)

d) \(\frac{1}{4}\)

Resposta: b) \(1\)

Explicação: Passe pela integral computando e checando.

a) \(1\)
b) \(3\)
c) \(0\)
d) \(\frac{1}{4}\)

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Qual é o resultado de: \[ \int_0^1 e^{2x} \, dx \] a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\) b) \(e - 1\) c) 1 d) \(\frac{1}{2}\) **Resposta: a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)** **Explicação:** Diretamente computado através de integrais.a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)b) \(e - 1\)c) 1d) \(\frac{1}{2}\)

Qual é o valor do limite? \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n \] a) 2 b) \(e^2\) c) \(e\) d) \(\infty\) **Resposta: b) \(e^2\)** **Explicação:** Esta é uma forma alternativa de escrita para o número \(e\).a) 2b) \(e^2\)c) \(e\)d) \(\infty\)

Calcule a integral: \[ \int (3x^2 + 2) \, dx \] a) \(x^3 + 2x + C\) b) \(3x + 2 + C\) c) \(3x^3 + 2x + C\) d) \(x^3 + C\) **Resposta: a) \(x^3 + 2x + C\)** **Explicação:** A integral é direta de cada termo.a) \(x^3 + 2x + C\)b) \(3x + 2 + C\)c) \(3x^3 + 2x + C\)d) \(x^3 + C\)

Qual é o resultado da integral: \[ \int_1^2 2x \, dx \] a) \(3\) b) \(\frac{4}{3}\) c) \(5\) d) \(\frac{3}{2}\) **Resposta: a) \(3\)** **Explicação:** Integração computa-se como \(x^{2}\).a) \(3\)b) \(\frac{4}{3}\)c) \(5\)d) \(\frac{3}{2}\)

Calcule: \[ \int_0^2 (x^3 - 3) \, dx \] a) \(1\) b) \(3\) c) \(0\) d) \(\frac{1}{4}\) **Resposta: b) \(1\)** **Explicação:** Passe pela integral computando e checando.a) \(1\)b) \(3\)c) \(0\)d) \(\frac{1}{4}\)

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Qual é o resultado de:

\[
\int_0^1 e^{2x} \, dx
\]

a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)

b) \(e - 1\)

c) 1

d) \(\frac{1}{2}\)

Resposta: a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)

Explicação: Diretamente computado através de integrais.

a) \(\frac{e^2 - 1}{2}\)
b) \(e - 1\)
c) 1
d) \(\frac{1}{2}\)

Qual é o valor do limite?

\[
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n
\]

a) 2

b) \(e^2\)

c) \(e\)

d) \(\infty\)

Resposta: b) \(e^2\)

Explicação: Esta é uma forma alternativa de escrita para o número \(e\).

a) 2
b) \(e^2\)
c) \(e\)
d) \(\infty\)

Calcule a integral:

\[
\int (3x^2 + 2) \, dx
\]

a) \(x^3 + 2x + C\)

b) \(3x + 2 + C\)

c) \(3x^3 + 2x + C\)

d) \(x^3 + C\)

Resposta: a) \(x^3 + 2x + C\)

Explicação: A integral é direta de cada termo.

a) \(x^3 + 2x + C\)
b) \(3x + 2 + C\)
c) \(3x^3 + 2x + C\)
d) \(x^3 + C\)

Qual é o resultado da integral:

\[
\int_1^2 2x \, dx
\]

a) \(3\)

b) \(\frac{4}{3}\)

c) \(5\)

d) \(\frac{3}{2}\)

Resposta: a) \(3\)

Explicação: Integração computa-se como \(x^{2}\).

a) \(3\)
b) \(\frac{4}{3}\)
c) \(5\)
d) \(\frac{3}{2}\)

Calcule:

\[
\int_0^2 (x^3 - 3) \, dx
\]

a) \(1\)

b) \(3\)

c) \(0\)

d) \(\frac{1}{4}\)

Resposta: b) \(1\)

Explicação: Passe pela integral computando e checando.

a) \(1\)
b) \(3\)
c) \(0\)
d) \(\frac{1}{4}\)