Qual é a equação da linha tangente ao gráfico de $ f(x)=x^2 $ no ponto $ (1, 1) $?

a) $ y = 2x - 1 $
b) $ y = 2x $
c) $ y = 2x + 1 $
d) $ y = 3x $

Question

Qual é a equação da linha tangente ao gráfico de $ f(x)=x^2 $ no ponto $ (1, 1) $?

a) $ y = 2x - 1 $
b) $ y = 2x $
c) $ y = 2x + 1 $
d) ...

Ed · Answer

Para encontrar a equação da linha tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^2 $ no ponto $ (1, 1) $, precisamos seguir alguns passos:

1. **Encontrar a derivada da função**: A derivada de $ f(x) = x^2 $ é $ f'(x) = 2x $.

2. **Calcular a inclinação da tangente no ponto $ (1, 1) $**: Substituindo $ x = 1 $ na derivada, temos:
   $$
   f'(1) = 2(1) = 2
   $$
   Portanto, a inclinação da tangente no ponto $ (1, 1) $ é 2.

3. **Usar a fórmula da equação da reta**: A equação da reta na forma ponto-inclinação é dada por:
   $$
   y - y_0 = m(x - x_0)
   $$
   onde $ (x_0, y_0) $ é o ponto $ (1, 1) $ e $ m $ é a inclinação (2). Substituindo os valores, temos:
   $$
   y - 1 = 2(x - 1)
   $$
   Simplificando:
   $$
   y - 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 1
   $$

Agora, analisando as alternativas:
a) $ y = 2x - 1 $ - Correta.
b) $ y = 2x $ - Incorreta.
c) $ y = 2x + 1 $ - Incorreta.
d) $ y = 3x $ - Incorreta.

Portanto, a alternativa correta é: **a) $ y = 2x - 1 $**.

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Qual é o resultado de \( \int (x^4 - 2x^2 + 1) \,dx \)?

a) \( \frac{1}{5}x^5 - x^3 + x + C \)
b) \( \frac{1}{5}x^6 - x^3 + x + C \)
c) \( x^5 - x^3 + x + C \)
d) \( 2x^3 - x^2 + C \)

Qual é o resultado da integral \( \int_1^2 \frac{1}{x} \,dx \)?

a) 1
b) \( \ln(2) - \ln(1) \)
c) \( \ln(2) + 1 \)
d) 0

Qual é a integral de \( \sec^2(x) \)?

A) \( \tan(x) + C \)
B) \( \sec(x) + C \)
C) \( \cos(x) + C \)
D) \( \ln(|\sec(x) + \tan(x)|) + C \)

Cálculo de Área com Integrais: Calcule a área entre as curvas y = x^2 e y = x + 2 no intervalo [0, 2].

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

- Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?

- A) 1
- B) 0
- C) Infinito
- D) Não existe

Qual é o limite de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3

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Qual é o resultado da integral \( \int_1^2 \frac{1}{x} \,dx \)?a) 1b) \( \ln(2) - \ln(1) \)c) \( \ln(2) + 1 \)d) 0

Qual é a integral de \( \sec^2(x) \)?A) \( \tan(x) + C \)B) \( \sec(x) + C \)C) \( \cos(x) + C \)D) \( \ln(|\sec(x) + \tan(x)|) + C \)

Cálculo de Área com Integrais: Calcule a área entre as curvas y = x^2 e y = x + 2 no intervalo [0, 2].a) 1b) 2c) 3d) 4

- Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?- A) 1- B) 0- C) Infinito- D) Não existe

Qual é o limite de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)?A) 0B) 1C) 2D) 3

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a) 1
b) \( \ln(2) - \ln(1) \)
c) \( \ln(2) + 1 \)
d) 0

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A) \( \tan(x) + C \)
B) \( \sec(x) + C \)
C) \( \cos(x) + C \)
D) \( \ln(|\sec(x) + \tan(x)|) + C \)

Cálculo de Área com Integrais: Calcule a área entre as curvas y = x^2 e y = x + 2 no intervalo [0, 2].

a) 1
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c) 3
d) 4

- Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?

- A) 1
- B) 0
- C) Infinito
- D) Não existe

Qual é o limite de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3