Para calcular a integral tripla \( \int \int \int_R \sin(x + y + z) \, dx \, dy \, dz \) sobre o cubo \( R = [0, \pi] \times [0, \pi] \times [0, \pi] \), podemos usar a propriedade da integral e a simetria da função. 1. **Mudança de Variáveis**: Podemos fazer a mudança de variáveis \( u = x + y + z \). A função \( \sin(u) \) é periódica e simétrica, o que facilita o cálculo. 2. **Limites de Integração**: Os limites de \( x, y, z \) variam de \( 0 \) a \( \pi \), então \( u \) varia de \( 0 \) a \( 3\pi \). 3. **Cálculo da Integral**: A integral tripla pode ser separada em integrais simples, mas, devido à simetria, podemos calcular a integral de \( \sin(u) \) e multiplicar pelo volume do cubo. 4. **Resultado**: A integral de \( \sin(u) \) de \( 0 \) a \( 3\pi \) resulta em \( 0 \) porque a função \( \sin(u) \) tem um período de \( 2\pi \) e a área positiva e negativa se cancelam. Portanto, a integral tripla resulta em \( 0 \). Analisando as alternativas: A) 8 B) -16 C) 16 D) -8 Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto, que é \( 0 \). Você pode precisar verificar as opções ou o enunciado da questão.