Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 - 6x + 5) \, dx \)? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^3 - 6x + 5) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( x^3 - 6x + 5 \). 1. A antiderivada de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). 2. A antiderivada de \( -6x \) é \( -3x^2 \). 3. A antiderivada de \( 5 \) é \( 5x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - 3x^2 + 5x \] Agora, vamos calcular \( F(1) \) e \( F(0) \): - \( F(1) = \frac{1^4}{4} - 3(1^2) + 5(1) = \frac{1}{4} - 3 + 5 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4} \) - \( F(0) = \frac{0^4}{4} - 3(0^2) + 5(0) = 0 \) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (x^3 - 6x + 5) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4} \] Como \( \frac{9}{4} = 2,25 \), que não está nas opções, vamos verificar se houve algum erro nas opções ou no cálculo. No entanto, se considerarmos a integral de forma mais simples, podemos verificar que a função \( x^3 - 6x + 5 \) tem raízes e pode ser analisada em seu comportamento entre 0 e 1. Após revisar, a integral realmente resulta em um valor que não corresponde a nenhuma das opções dadas. Portanto, a resposta correta não está entre as alternativas apresentadas. Se precisar de mais ajuda, estou à disposição!