Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^3 \ln(x^2) \), vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Identificar as partes: - \( u = x^3 \) - \( v = \ln(x^2) \) 2. Derivar cada parte: - A derivada de \( u \) é \( u' = 3x^2 \). - Para \( v = \ln(x^2) \), podemos usar a propriedade do logaritmo: \( \ln(x^2) = 2\ln(x) \). Assim, a derivada de \( v \) é \( v' = \frac{2}{x} \). 3. Aplicar a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (3x^2)(\ln(x^2)) + (x^3)\left(\frac{2}{x}\right) \] 4. Simplificar: - O primeiro termo é \( 3x^2 \ln(x^2) \). - O segundo termo se simplifica para \( 2x^2 \). Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = 3x^2 \ln(x^2) + 2x^2 \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( 3x^2 \ln(x^2) + 2x \) - Não é correta, pois o segundo termo não está correto. B) \( 3x^2 \ln(x) + 2x \) - Não é correta, pois o logaritmo não está correto. C) \( 3x^2 \ln(x^2) + 3x \) - Não é correta, pois o segundo termo não está correto. D) \( 3x^2 \ln(x) + 2x^2 \) - Não é correta, pois o logaritmo não está correto. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à derivada correta que encontramos. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. A derivada correta é \( 3x^2 \ln(x^2) + 2x^2 \).