99. **Problema 99:** Determine o valor de ∫_0^1 (x^3 + 2x^2) dx. A) \frac{1}{4} B) \frac{1}{3} C) \frac{1}{2} D) \frac{5}{12}

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(x^3\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] 2. Integral de \(2x^2\): \[ \int 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3} \] Agora, somamos as duas integrais: \[ \int (x^3 + 2x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) - 0 \] Agora, precisamos somar \(\frac{1}{4}\) e \(\frac{2}{3}\). Para isso, encontramos um denominador comum, que é \(12\): \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \quad \text{e} \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \] \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12} \] Portanto, o valor da integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx\) é \(\frac{11}{12}\). Como essa resposta não está entre as opções, parece que houve um erro nas alternativas fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.