Qual é a integral \( \int_0^{\pi/2} \cos(x) \sin(x) \, dx \)? a) \( \frac{1}{2} \) b) \( \frac{1}{4} \) c) \( \frac{1}{3} \) d) \( \frac{1}{8} \)

Para resolver a integral \( \int_0^{\pi/2} \cos(x) \sin(x) \, dx \), podemos usar a substituição ou uma identidade trigonométrica. Uma forma prática é usar a identidade \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \). Assim, podemos reescrever a integral: \[ \int_0^{\pi/2} \cos(x) \sin(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin(2x) \, dx \] Agora, calculamos a integral de \( \sin(2x) \): \[ \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \] Portanto, avaliando de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \): \[ \int_0^{\pi/2} \sin(2x) \, dx = \left[-\frac{1}{2} \cos(2x)\right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{2} \left(\cos(\pi) - \cos(0)\right) = -\frac{1}{2} \left(-1 - 1\right) = -\frac{1}{2} \cdot (-2) = 1 \] Assim, substituindo de volta na integral original: \[ \int_0^{\pi/2} \cos(x) \sin(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é: a) \( \frac{1}{2} \)