distancia pnzbueivpnzbueiv

Prévia do material em texto

**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + x} \cdot (2x + 1) = 
\frac{2x + 1}{x^2 + x} \). 
 
28. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 3x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( \frac{4}{3} \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{4}{3} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{3} 
+ \frac{3}{2} = \frac{4}{3} \). 
 
29. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 + 1} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{5}{2} \) 
 c) \( \infty \) 
 d) 1 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^2 \), 
obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{5}{2} \). 
 
30. **Qual é a integral \( \int_0^{\pi/2} \cos(x) \sin(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{1}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{8} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos(x) \sin(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \). A integral 
se torna \( \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \left[-
\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \). 
 
31. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois a forma é \( \frac{0}{0} \). Derivando o 
numerador e o denominador, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x} = \frac{1}{2} \). 
 
32. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \)?** 
 a) \( 3x^2 - 6x + 4 \) 
 b) \( 3x^2 + 6x + 4 \) 
 c) \( 2x^2 - 6x + 4 \) 
 d) \( 3x^2 - 3x + 4 \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 - 6x + 4 \) 
 **Explicação:** A derivada é obtida aplicando a regra de potência a cada termo: \( f'(x) = 
3x^2 - 6x + 4 \). 
 
33. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^2 - 4x + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) 1 
 **Resposta:** d) 1 
 **Explicação:** A integral é \( \left[\frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x\right]_0^1 = \left(\frac{4}{3} - 
2 + 1\right) = 1 \). 
 
34. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental, onde \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Aqui, \( k = 2 \), então o limite é 2. 
 
35. **Qual é a integral \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 b) \( x^3 + x^2 + C \) 
 c) \( \frac{3}{4}x^4 + x^2 + C \) 
 d) \( x^3 + x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** Integrando cada termo separadamente, obtemos \( \frac{3}{3}x^3 + 
\frac{2}{2}x^2 + x + C = x^3 + x^2 + x + C \). 
 
36. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois a forma é \( \frac{0}{0} \). Derivando o 
numerador e o denominador, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{3e^{3x}}{1} = 3 \). 
 
37. **Qual é a integral \( \int x \ln(x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C \) 
 b) \( \frac{x^2}{2} \ln(x) + C \) 
 c) \( x^2 \ln(x) + C \) 
 d) \( \frac{x^2}{2} \ln(x) - x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes, onde \( u = \ln(x) \) e \( dv = x \, dx \). 
 
38. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2}{4x^3 - x} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{3}{4} \)